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第1章 工程电磁场数值分析的基本问题1.1 概述1

1.2 电磁场数学模型的微分形式2

1.2.1 电磁场方程组2

1.2.2 静电场中的定解问题3

1.2.3 恒定磁场中的定解问题5

1.3 电磁场数学模型的积分形式6

1.3.1 静电场中的边界积分方程6

1.3.2 不同介质分界面上的边界积分方程7

1.4 加权余数法（矩量法）8

1.4.1 连续域的离散8

1.4.2 连续函数的展开9

1.4.3 加权余数法10

1.5 基函数的基本类型11

1.5.1 整域基11

1.5.2 分域基12

1.6 权函数的基本类型17

1.6.1 点匹配法17

1.6.2 子域匹配法18

1.6.3 迦辽金法18

1.6.4 最小二乘解19

1.6.5 各种方法之间的内在联系19

1.7 误差分类20

1.7.1 舍入误差20

1.7.2 离散误差21

思考题22

参考文献22

第1篇 场域元法25

第2章 有限元法的基本原理和实施25

2.1 概述25

2.2 泛函及变分问题26

2.2.1 变分问题的产生及其分类27

2.2.2 尤拉方程27

2.3 与定解问题等价的变分问题28

2.3.1 等价的泛函极值问题28

2.3.2 自然边界条件和强加边界条件30

2.3.3 非齐次边值问题的变分问题33

2.3.4 分层介质中电场的变分问题37

2.4 变分问题中数值解的基本解题步骤39

2.5 二维拉普拉斯场的有限元方程42

2.5.1 单元系数阵的计算44

2.5.2 总系数阵的形成及其特性45

2.5.3 有限元方程组48

2.6 二维泊松场的有限元方程49

2.6.1 计算电荷密度ρ′的影响50

2.6.2 计算由非齐次边界条件产生的影响51

2.6.3 二维恒定磁场中的有限元方程53

2.7 轴对称场中的有限元方程55

2.7.1 轴对称电场的有限元方程55

2.7.2 轴对称磁场的有限元方程57

2.8 求解有限元方程组的若干问题61

2.8.1 存储技术61

2.8.2 第一类边界条件的处理61

2.8.3 解线性方程组的方法分类63

2.9 直接法64

2.9.1 高斯消去法64

2.9.2 平方根法、乔列斯基分解65

2.10 预处理共轭梯度法66

2.10.1 优化方法概述66

2.10.2 最速下降法68

2.10.3 共轭梯度法（简称CG法）69

2.10.4 不完全分解的共轭梯度法（简称ICCG法）71

2.10.5 新的预处理共轭梯度法74

2.11 迦辽金有限元法77

2.12 示例80

思考题和习题84

参考文献85

第3章 等参元、亚参元和超参元有限元法3.1 概述87

3.2 自然坐标系88

3.2.1 整体坐标系 面积坐标系88

3.2.2 局部坐标系 自然坐标系90

3.2.3 整体坐标系和局部坐标系之间的转换关系92

3.2.4 四边形单元中的自然坐标系94

3.2.5 三维场中的自然坐标系及其转换94

3.3 三角形单元中形状函数的构成98

3.3.1 插值多项式的确定100

3.3.2 构造三角元中形状函数的计算公式103

3.4 四边形单元中形状函数的构成105

3.5 三维单元中形状函数的构成107

3.6 坐标变换109

3.6.1 整体坐标系和自然坐标系之间的变换式109

3.6.2 平面单元经坐标变换后，分界面仍保持连续110

3.6.3 立体单元经坐标变换后，分界面仍保持连续111

3.6.4 高次元形状函数对单元几何形状的影响113

3.7 等参元、亚参元和超参元114

3.8 等参元有限元方程114

3.8.1 二维等参元有限元方程114

3.8.2 三维等参元有限元方程119

3.9 亚参元有限元方程120

3.10 高斯积分法122

3.10.1 一维高斯积分公式123

3.10.2 二维高斯积分公式123

3.10.3 三维高斯积分公式127

3.11 示例129

思考题和习题130

参考文献131

第4章 非线性磁场中的有限元法132

4.1 概述132

4.2 基本方程及定解条件133

4.2.1 基本方程133

4.2.2 边值问题134

4.3 非线性边值问题的等价变分问题135

4.3.1 单一媒质内二维非线性边值问题的等价变分问题135

4.3.2 多媒质内二维非线性边值问题的等价变分问题139

4.4 非线性磁场的有限元方程141

4.4.1 轴对称场141

4.4.2 二维场145

4.4 三维场146

4.5 非线性媒质的数值逼近方法149

4.5.1 多项式插值150

4.5.2 样条插值法152

4.5.3 最小二乘拟合154

4.6 非线性方程组的求解158

4.6.1 线性化迭代法159

4.6.2 牛顿-拉夫逊法160

4.6.3 改进型的牛顿-拉夫逊法163

4.6.4 牛顿-拉夫逊法与最速下降法的组合求解法165

4.6.5 对称逐次超松弛共轭梯度法166

4.7 示例168

思考题和习题169

参考文献172

第5章 有限元法解稳态涡流场173

5.1 概述173

5.2 ？法解涡流场（全域解）175

5.2.1 导电区域内的基本方程175

5.2.2 非导电区域内的基本方程179

5.2.3 边值问题180

5.3 分域解的处理方法182

5.3.1 ？解答的唯一性182

5.3.2 约束条件186

5.3.3 分域解的边值问题187

5.4 等价变分问题与有限元方程188

5.4.1 二维场的等价变分问题与有限元方程188

5.4.2 轴对称场的等价变分问题与有限元方程194

5.4.3 三维场的等价变分问题与有限元方程196

5.5 ？法解涡流场（全域解）199

5.5.1 导电区域内的基本方程199

5.5.2 非导电区域内的基本方程201

5.5.3 ？的分界面条件202

5.5.4 边值问题204

5.6 ？的分域解法205

5.6.1 边值问题205

5.6.2 约束条件206

5.7 ？法与？法的比较207

5.8 ？法的等价变分问题及其有限元方程207

5.9 涡流线方程210

5.10 示例211

5.11 磁化曲线的等效处理213

思考题和习题216

参考文献217

第6章 有限元素法的前处理技术219

6.1 概述219

6.2 平面域内常用的自动剖分法221

6.2.1 直线内插法221

6.2.2 射线内插法223

6.2.3 拓扑节点生成法226

6.2.4 映射法229

6.2.5 三角元逐次细分233

6.2.6 局部区域的加密法235

6.2.7 任意多边形域自动剖分238

6.3 节点标号优化技术242

6.4 非零元素存贮技术246

6.4.1 一般非零元素存贮法247

6.4.2 非零元素散列存贮法248

6.5 三维空间的自动剖分252

思考题和习题259

参考文献259

第2篇 边界元法和等效源法263

第7章 边界元法的基本原理及实施263

7.1 概述263

7.2 叠加原理，间接边界积分方程264

7.2.1 单层源的表达式264

7.2.2 双层源的表达式265

7.3 等效原理，直接边界积分方程267

7.3.1 场源对场源区域外部产生的效应267

7.3.2 场源对场源所在区域内部产生的效应269

7.3.3 等效原理，直接边界积分方程270

7.3.4 从互易观点推导积分方程270

7.4 分域媒质分界面上的边界积分方程271

7.4.1 电场中介质分界面上的边界积分方程271

7.4.2 磁场中媒质分界面上的边界积分方程273

7.5 间接边界积分方程的离散-间接边界元方程276

7.5.1 非对角线元素的计算277

7.5.2 对角线元素的计算277

7.5.3 平行平面电极的电场计算278

7.6 直接边界积分方程的离散-直接边界元方程280

7.6.1 边界元方程-常数元280

7.6.2 边界元方程-一次元283

7.6.3 小结287

7.7 有限元剖分的等参元边界元方程287

7.7.1 三角形等参元方程计算289

7.7.2 四边形等参元方程计算290

7.8 三维高精度环带状插值单元291

7.8.1 环带状插值单元的计算公式291

7.8.2 坐标系的建立及坐标系之间的转换294

7.9 边界元法计算分域媒质中的场296

7.9.1 按全域处理296

7.9.2 按分域处理 双标量位法298

7.10 边界元方程的求解方法301

7.10.1 选择计算方法的重要性301

7.10.2 超定方程的解302

7.10.3 估计“病态阵”的参考判据304

7.10.4 分裂解305

7.10.5 计算结果校核308

7.11 示例308

7.12 误差估计及提高计算精度的措施311

7.12.1 现有的误差估计311

7.12.2 提高计算精度的几个方面312

思考题和习题316

参考文献317

第8章 等效源法的基本原理和实施319

8.1 等效源法的理论基础319

8.2 模拟电荷法320

8.2.1 模拟电荷方程320

8.2.2 模拟电荷和匹配点的确定321

8.3 镜象法在模拟电荷法中的应用325

8.4 模拟电荷法解具有浮动电极系统中的静电场327

8.5 模拟电荷法解孤立带电系统中的电场329

8.6 模拟电荷法解分域均匀介质中的电场331

8.7 模拟电荷的基本类型及其计算公式334

8.7.1 无限长线电荷的计算公式334

8.7.2 点电荷的计算公式335

8.7.3 有限长线电荷和半无限长线电荷的计算公式336

8.7.4 环形线电荷的计算公式337

8.7.5 连续分布的模拟电荷341

8.8 模拟电流法341

8.8.1 设铁磁物质的导磁率为无限大时的处理方法342

8.8.2 设铁磁物质的导磁率为有限值时的处理方法343

8.9 相量形式的模拟电流法345

8.9.1 两线输电系统346

8.9.2 约束条件分析347

8.9.3 三相系统中的模拟电流法348

8.10 等效源方程的求解及分裂解法350

8.11 示例352

8.11.1 模拟电荷的类型选择353

思考题和习题354

参考文献355

第9章 边界元法、等效源法解非线性恒定磁场9.1 概述357

9.2 基于标量磁位的非线性问题的处理358

9.2.1 非线性积分方程及其离散358

9.2.2 欠松弛迭代格式360

9.2.3 场域中非线性项的计算362

9.3 基于矢量磁位的非线性问题的处理363

9.4 二维场中分层媒质中非线性问题的处理364

9.4.1 处理方法分析364

9.4.2 迭代格式366

9.4.3 示例367

9.5 轴对称场中分层媒质中非线性问题的处理369

9.5.1 轴对称场的基本解369

9.5.2 迭代格式372

思考题和习题373

参考文献374

第10章 用边界元法和等效源法解涡流场10.1 概述375

10.2 用矢量磁位计算二维涡流场376

10.2.1 二维涡流场的边界积分方程376

10.2.2 二维涡流场中亥姆霍兹方程的基本解377

10.2.3 二维涡流场方程的离散379

10.2.4 涡流区激磁电流为总电流时的处理383

10.2.5 用等效源计算涡流场384

10.3 用矢量电位计算二维涡流场385

10.3.1 二维涡流场方程及其离散385

10.3.2 示例389

10.4 用矢量磁位计算三维涡流场389

10.5 用等效源计算三维涡流场391

10.5.1 磁场边值问题和电场边值问题的分解391

10.5.2 等效源的表达式394

10.5.3 示例398

10.6 用阻抗边界条件等效涡流区的计算400

10.6.1 等效边界阻抗的概念及其应用400

10.6.2 边界积分方程的离散401

10.6.3 计算结果402

思考题和习题403

参考文献404

第3篇 数值方法在电磁波问题中的应用第11章 矩量法在电磁散射和波导问题中的应用11.1 矩量法解电磁散射问题409

11.1.1 散射问题的积分方程409

11.1.2 积分方程的矩量法解418

11.1.3 微-积分方程的矩量法解431

11.1.4 矩量法解线形散射体问题438

11.1.5 矩量法解三维电磁散射问题454

11.2 矩量法解波导不连续性问题466

11.2.1 直接边界积分方程的矩量法466

11.2.2 波导不连续性问题的矩阵方程468

11.2.3 示例469

思考题和习题470

参考文献472

第12章 有限元法在波导和电磁散射问题中的应用12.1 微分方程及其相应的泛函极值问题474

12.2 有限元法解波导本征值问题477

12.2.1 波导中的有限元方程477

12.2.2 广义本征值的求解480

12.2.3 示例480

12.3 吸收边界条件483

12.3.1 一维吸收边界条件483

12.3.2 二维吸收边界条件485

12.4 有限元法解电磁散射问题488

12.4.1 吸收边界的引入489

12.4.2 示例490

思考题和习题491

参考文献491

第4篇 组合法及耦合场的计算494

第13章 组合法及耦合场的计算494

13.1 概述494

13.2 有限元-模拟电荷法496

13.2.1 基本内容496

13.2.2 系数阵的建立498

13.3 边界元-模拟电荷法499

13.3.1 系数阵的建立500

13.3.2 等位线分布501

13.4 有限元-边界元法502

13.4.1 分界面上边界条件的实施503

13.4.2 系数阵的建立504

13.5 有限元法和解析式组合计算恒定磁场506

13.5.1 分界面上的边界条件507

13.5.2 泛函极值问题及其离散508

13.6 有限元法和几何变换组合510

13.6.1 逆矢径变换510

13.6.2 逆矢径变换在电磁场边值问题中的应用511

13.6.3 边值问题514

13.6.4 简化边界条件实施的措施514

13.6.5 示例515

13.7 数值计算和实验测定组合516

13.8 计及电流场影响的电场计算518

13.9 计及温度场影响的电场计算520

思考题和习题522

参考文献522

附录525

附录1 有限元法程序525

附录2 二维等参元有限元法程序534

附录3 三角元逐次细分程序540

附录4 散列存贮程序544

附录5 计算带电导板的电荷密度及电容的边界元法程序547

附录6 模拟电荷法计算程序553

附录7 求复系数矩阵全部本征值的QR算法程序557