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第一部分 集合与命题1

一、集合1

1．集合的概念1

（1）集合与元素1

（2）集合、元素的属性1

2．集合的表示法2

（1）列举法2

（2）描述法2

3．集合的分类2

（1）空集2

（2）非空集合2

（3）单元素集合2

（4）有限集合2

（5）无限集合2

（6）常用的集合符号2

4．子集的概念2

（1）子集与包含2

（2）真子集3

（3）集合的相等3

5．文氏（Venn）图3

6．交集、并集、全集、补集4

7．集合的运算5

（1）集合的基本性质5

（2）集合的运算定律5

8．集合的基数公式5

（1）集合的基数5

（2）两个集合的并集基数公式5

（3）三个集合的并集基数公式5

（4）全集的基数公式6

二、命题6

1．命题的概念6

（1）命题6

（2）定义6

（3）公理6

（4）定理6

（5）推论6

2．四种命题6

（1）原命题6

（2）逆命题6

（3）否命题6

（4）逆否命题6

（5）一般结论6

3．充要条件7

4．常用的几个公理7

（1）等量公理7

（2）不等量公理8

（3）直线性质的公理及其推论8

（4）垂线性质的公理8

（5）平行公理及其推论8

（6）连续公理阿基米德公理8

康托公理9

第二部分 数的概念10

一、数的系统10

二、实数10

1．自然数10

（1）定义10

（2）约数和倍数10

（3）质数和合数11

（4）分解质因数11

（5）最大公约数11

（6）最小公倍数12

2．整数12

（1）奇数和偶数13

（2）倍数的性质13

（3）整数的运算法则13

3．有理数16

（1）定义16

（2）数轴16

（3）相反数17

（4）绝对值17

（5）有理数大小的比较17

（6）有理数的运算法则17

4．实数19

（1）算术根19

（2）无限不循环小数（无理数）19

（3）实数的概念19

（4）实数大小比较的法则20

（5）实数的运算法则20

（6）平方根表和立方根表21

（7）实数的运算定律22

三、复数23

1．复数的概念23

（1）虚数单位23

（2）实部与虚部23

（3）两复数相等的规定23

（4）共轭复数24

（5）复数的向量表示24

（6）复数的模与幅角25

2．复数的表示法25

（1）代数式25

（2）三角式25

（3）指数式25

3．复数的运算26

（1）棣莫佛定理26

（2）复数的代数式运算26

（3）复数的三角式运算26

（4）复数的指数式运算27

4．复数的运算定律27

5．复数的几何表示27

（1）平行四边形法则27

（2）三角形法则28

四、近似计算28

1．准确数与近似数28

2．四舍五入法28

3．进一法28

4．去尾法29

5．误差29

6．有效数字29

7．近似数的运算法则29

（1）近似数的加、减法29

（2）近似数的乘、除法30

五、区间31

1．区间的定义31

2．常用的区间记号31

第三部分 代数式32

一、代数式的系统表32

1．代数式的分类32

2．代数式32

二、整式32

1．整式的基本概念32

（1）单项式32

（2）多项式32

（3）整式33

2．整式的运算33

（1）整式的加减法33

（2）整式的乘法33

（3）乘法公式34

3．因式分解35

（1）定义35

（2）因式分解的常用方法35

三、分式39

1．分式的概念39

（1）分式、分子、分母39

（2）约分与最简分式40

（3）通分与最简公分母40

（4）分式的基本性质40

2．分式的运算40

（1）同分母的分式加减法40

（2）异分母的分式加减法40

（3）分式的乘法41

（4）分式的除法41

（5）分式的乘方42

（6）分式的开方42

3．繁分式42

（1）定义42

（2）繁分式的化简43

4．部分分式43

（1）定义44

（2）化分式为部分分式44

四、根式45

1．根式的意义45

2．根式的性质45

3．最简根式和同类根式45

4．分母有理化46

5．根式的运算法则48

（1）根式的加减法法则48

（2）根式的乘除法法则48

（3）根式的乘方49

（4）根式的开方49

五、指数50

1．指数的概念50

2．指数的运算法则51

（1）同底的幂相乘51

（2）幂的乘方51

（3）同底的幂相除51

（4）积的乘方51

3．科学记数法51

六、对数51

1．对数的概念51

（1）定义51

（2）常用对数51

（3）首数与尾数52

（4）自然对数52

2．对数恒等式52

3．换底公式52

4．对数的运算公式52

（1）积的对数52

（2）商的对数52

（3）幂的对数52

（4）方根的对数52

5．对数表的查法52

七、不等式53

1．不等式的性质53

2．同解不等式54

3．不等式的解法54

（1）一元一次不等式54

（2）一元一次不等式组55

（3）一元二次不等式（组）55

（4）根式不等式57

（5）指数不等式和对数不等式58

（6）含绝对值的不等式58

4．两个定理及推论59

八、比例60

1．比的概念60

2．比的基本性质60

3．比例的基本定理60

4．正比例与反比例61

九、行列式61

1．二阶行列式61

2．三阶行列式61

3．n阶行列式62

4．行列式的性质63

5．余子式、代数余子式65

6．行列式的展开66

第四部分 方程与方程组68

一、方程的概念68

1．等式68

（1）定义68

（2）恒等式68

（3）等式的性质68

2．方程68

（1）未知数和方程68

（2）方程的解68

（3）解方程68

二、方程的讨论69

1．方程同解变形定理69

2．一元一次方程69

3．一元二次方程69

（1）一元二次方程的概念70

（2）一元二次方程的解法70

4．一元n次方程71

（1）定义71

（2）一元n次方程的性质71

（3）综合除法72

（4）整数系数高次方程的有理根的求法73

（5）二项方程及其解法74

5．分式方程及其解法75

6．无理方程及其解法76

7．指数方程及其解法77

8．对数方程及其解法79

9．三角方程及其解法80

三、方程组82

1．二元一次方程组82

（1）二元一次方程组的概念82

（2）二元一次方程组的解法82

2．三元一次方程组84

3．线性方程组84

（1）二元线性方程组的解的讨论85

（2）二元线性方程组的解的讨论85

（3）四元线性方程组的解的讨论86

（4）三元齐次线性方程组86

4．二元二次方程组87

（1）二元二次方程组的概念87

（2）二元二次方程组的解法87

第五部分 数列与数学归纳法90

一、数列90

1．数列的概念90

（1）数列的定义90

（2）通项公式90

（3）有穷数列90

（4）无穷数列90

（5）等差数列90

（6）等比数列91

2．公式91

（1）等差数列｛αn｝的通项公式91

（2）等差中项公式91

（3）等差数列｛αx｝的前n项和公式91

（4）等比数列｛αn｝的通项公式91

（5）等比中项公式91

（6）等比数列｛αn｝的前n项和公式92

3．递推关系92

4．高阶等差数列92

5．常见的一些数列前n项和的公式93

二、数学归纳法94

1．概念94

（1）归纳法94

（2）数学归纳法94

2．数学归纳法的步骤94

第六部分 排列、组合、二项式定理96

一、排列与组合96

1．基本原理96

（1）加法原理96

（2）乘法原理96

2．定义97

（1）排列97

（2）组合97

3．公式97

（1）排列数公式97

（2）阶乘97

（3）组合数公式98

（4）组合数的两个性质98

（5）排列数与组合数的关系98

二、二项式定理98

1．基本概念98

（1）二项式定理98

（2）通项公式98

（3）杨辉三角98

2．二项式系数的性质99

第七部分 初等函数100

一、对应与映射100

1．对应100

（1）一对一的对应100

（2）多对一的对应100

（3）一对多的对应100

（4）多对多的对应100

2．映射（单值对应）100

（1）象及原象100

（2）对应与映射101

3．一一映射101

4．逆映射101

二、函数102

1．函数的概念102

（1）函数的定义102

（2）函数的三要素（）（3）函数的表示法102

（4）显函数与隐函数103

（5）简单函数与复合函数103

（6）初等函数103

2．反函数的概念103

3．函数定义域、值域的确定103

（1）如何求函数的定义域104

（2）求函数值域的常用方法104

4．描绘函数图象的方法步骤106

三、函数的性质106

1．奇偶性106

（1）奇函数106

（2）偶函数106

2．单调性106

（1）增函数107

（2）减函数107

（3）单调函数107

3．周期性107

（1）周期函数107

（2）最小正周期107

4．有界性107

（1）有界函数107

（2）无界函数107

5．极值性107

（1）极大（小）值107

（2）最大（小）值108

6．连续性108

四、几个常见的初等函数108

1．常值函数108

2．一次函数108

3．反比例函数109

4．二次函数110

5．幂函数110

6．指数函数111

7．对数函数112

第八部分 平面三角114

一、三角函数的概念114

1．角114

2．角度制与弧度制115

3．三角函数的定义115

（1）定义115

（2）各三角函数值在每个象限的符号116

（3）三角函数的定义域117

4．三角函数线117

5．三角函数的图象和性质118

6．特殊角三角函数值120

二、三角公式122

1．同角三角函数的基本关系式122

（1）倒数关系122

（2）商数关系122

（3）平方关系122

2．诱导公式122

3．两角和与差的三角函数122

4．二倍角公式123

5．半角公式123

（1）万能公式123

（2）万能代换124

6．积化和差与和差化积公式124

7．三角公式的内在联系和推导线索124

三、反三角函数126

1．反三角函数的定义126

2．反三角函数的图象和性质127

3．反三角函数的一些恒等式128

4．反三角函数关系式129

5．证明反三角函数恒等式的一般步骤129

四、解斜三角形130

1．常用定理130

（1）正弦定理130

（2）余弦定理130

（3）射影定理130

（4）模尔外得公式130

（5）正切定理130

（6）半角定理130

（7）三角形的面积130

2．斜三角形的解法131

第九部分 初等几何132

一、平面几何132

1．线、角、距离132

（1）线132

（2）角135

（3）距离138

2．多边形138

（1）多边形138

（2）三角形的分类139

（3）三角形中的主要线段140

（4）三角形的“心”140

（5）三角形的性质141

（6）三角形的判定143

（7）两个三角形的关系144

3．四边形147

（1）平行四边形147

（2）矩形147

（3）菱形148

（4）正方形148

（5）梯形148

（6）平行线等分线段定理149

（7）几种特殊四边形的关系150

4．面积公式150

5．相似多边形151

（1）两条线段的比151

（2）平行线分线段成比例定理151

（3）三角形一边的平行线的判定定理152

（4）相似多边形152

6．对称154

7．圆156

（1）与圆有关的概念156

（2）圆的基本性质158

（3）与圆有关的角158

（4）直线与圆的位置关系160

（5）圆与圆的位置关系163

（6）与圆有关的多边形165

（7）正多边形和圆166

（8）正多边形、圆的有关计算公式167

（9）作图与轨迹169

二、立体几何170

1．直线和平面170

（1）平面的基本性质170

（2）水平放置的平面图形的直观图的画法171

（3）空间的两条直线的位置关系173

（4）空间直线和平面的位置关系174

（5）直线和平面位置关系的判定及性质175

（6）一些基本概念176

（7）三垂线定理及其逆定理177

2．平面和平面177

（1）两个平面平行的判定定理177

（2）两个平面平行的性质177

（3）平行平面的公垂线178

（4）平行平面间的距离178

（5）半平面178

（6）二面角178

（7）二面角的平面角178

（8）两个平面互相垂直178

（9）两个平面垂直的判定定理178

（10）两个平面垂直的性质定理179

3．多面体和旋转体179

（1）多面体179

（2）棱柱179

（3）棱锥181

（4）棱台183

（5）旋转体184

4．多面体和旋转体的体积188

（1）体积188

（2）体积单位188

（3）祖晅原理188

（4）体积公式189

三、解析几何191

1．基本公式191

（1）平面上两点间的距离公式191

（2）线段的定比分点191

（3）直线的倾斜角和斜率191

（4）三角形的面积192

2．曲线与方程192

（1）曲线与方程的关系192

（2）曲线的对称性192

（3）曲线的交点192

3．直线193

（1）直线方程193

（2）点和直线的位置关系194

（3）直线和直线的位置关系194

（4）直线系195

（5）三直线共点195

4．圆196

（1）圆的定义196

（2）圆的方程196

（3）确定一个圆的条件196

（4）圆的切线197

（5）圆系197

5．椭圆197

（1）椭圆的定义197

（2）椭圆的方程198

（3）椭圆的切线198

（4）椭圆的面积199

6．双曲线199

（1）双曲线的定义199

（2）双曲线的方程199

（3）双曲线的切线200

（4）等轴双曲线200

7．抛物线200

（1）抛物线的定义200

（2）抛物线的方程200

（3）抛物线的切线201

8．一般二元二次方程的曲线类型201

9．坐标变换202

（1）坐标轴的平移202

（2）坐标轴的旋转202

（3）化简一般二元二次方程的方法203

10．参数方程203

（1）参数方程的定义203

（2）参数方程和普通方程的互化203

（3）几种常用的参数方程205

11．极坐标206

（1）极坐标系206

（2）极坐标与直角坐标的互化206

（3）直线和圆的极坐标方程206

（4）圆锥曲线的极坐标方程207

（5）等速螺线的极坐标方程207

12．轨迹207

（1）点的轨迹的意义207

（2）求动点轨迹的基本步骤208

第十部分 概率统计初步209

一、概率初步209

1．事件与概率209

（1）随机试验209

（2）随机事件209

（3）基本事件209

（4）必然事件209

（5）不可能事件209

（6）事件间的关系209

（7）频率210

（8）概率的定义210

（9）概率的简单性质210

（10）概率的计算公式211

2．n次独立试验211

3．随机变量及其分布212

（1）随机变量212

（2）分布函数212

（3）离散型随机变量及其分布列212

（4）连续型随机变量及其分布密度函数212

（5）随机变量的函数的分布213

4．随机变量的数字特征213

（1）均值（数学期望）213

（2）方差213

（3）关于均值与方差的计算214

5．几种常用的概率分布214

（1）0-1分布214

（2）二次分布214

（3）泊松分布214

（4）几何分布214

（5）均匀分布215

（6）指数分布215

（7）正态分布215

6．标准正态分布表及其使用215

二、统计初步216

1．总体（母体）与样本（子样）216

2．两个常用统计量（样本特征数）216

3．参数估计217

（1）数字特征法217

（2）最大似然法217

4．估计量的好坏标准217

（1）无偏性217

（2）有效性217

5．样本的频率分布（频率直方图）217

（1）样本分组218

（2）计算频数、频率密度218

（3）画频率直方图218

6．总体参数的区间估计218

（1）置信区间218

（2）几种分布的α临界值218

（3）正态总体参数区间估计公式219

7．参数假设检验221

（1）原则和步骤221

（2）单个正态总体的参数假设检验表222

（3）两个正态总体的参数假设检验表222

8．一元线性回归222

（1）一元线性回归的数学模型222

（2）参数a、b的最小二乘估计．回归直线方程222

（3）回归直线方程的效果检验225

第十一部分 微积分初步227

一、极限227

1．数列的极限227

（1）定义227

（2）关于数列极限的定理227

（3）数列极限的四则运算227

（4）常用数列的极限227

（5）无穷递缩等比数列的和228

（6）无限循环小数化为分数的方法228

2．函数的极限228

（1）定义228

（2）关于函数极限的定理229

（3）函数极限的四则运算230

（4）一些重要的函数的极限230

3．无穷小量与无穷大量231

（1）定义231

（2）无穷大与无穷小的关系231

（3）无穷小的比较231

（4）函数极限与无穷小的关系231

4．求极限的几种常用方法231

（1）无穷小分出法231

（2）约去零因子法232

（3）公式法232

（4）利用连续性求极限232

（5）等价代换法232

（6）夹逼法232

（7）利用罗必达法则求极限232

5．函数的连续性232

（1）函数y=f（x）在点x0连续232

（2）函数y=f（x）在点x0左连续、右连续233

（3）间断点233

（4）函数y=f（x）在区间上连续233

（5）关于连续函数的性质、定理233

二、导数与微分234

1．定义234

（1）函数y=f（x）在点x0的导数与微分234

（2）导数（导函数）与函数的微分234

2．导数与微分的几何意义234

3、函数的可微与连续性关系235

4．微分法则235

5．导数、微分基本公式236

6．高阶导数237

（1）定义237

（2）运算法则237

（3）一些函数的高阶导数237

7．中值定理237

（1）罗尔（Rollc）定理237

（2）拉格朗日（Lagrangc）定理237

（3）柯西（Cauchy）定理238

（4）罗必达（L'Hospitalc）法则238

8．导数与微分的应用239

（1）切线（MT）方程239

（2）法线（MN）方程239

（3）函数单调性的判定法239

（4）函数极值的定义、判定和求法239

（5）最大（小）值求法240

（6）曲线的凹凸、拐点的定义及其判定240

（7）曲线的渐近线定义及求法241

（8）函数作图242

（9）弧微分与曲率243

（10）微分在近似计算上的应用244

二、积分学245

1．原函数245

2．不定积分246

（1）定义246

（2）不定积分的几何意义246

（3）积分基本运算法则246

（4）不定积分法246

（5）不定积分基本公式248

3．定积分249

（1）定义249

（2）定积分的几何意义249

（3）定积分与不定积分的关系250

（4）定积分的性质250

（5）定积分的计算250

（6）一些含有三角函数的定积分251

（7）常用的定积分的近似计算法252

4．定积分在几何和物理中的应用253

（1）几何应用253

（2）物理应用255

第十二部分 矢量代数与逻辑代数初步256

一、矢量代数初步256

1．矢量的基本概念256

2．直角单位矢量与矢量的分解256

（1）平面直角单位矢量256

（2）三维空间的单位向量257

3．矢量的运算257

（1）矢量的加法257

（2）矢量的减法258

（3）矢量的数乘258

4．矢量的数积（标积，点积，内积）259

（1）数积259

（2）数积的运算规律259

（3）利用数积表示的几何量及其关系259

5．矢量的矢量积（叉积，矢积，外积）260

（1）矢积260

（2）矢积的运算规定260

（3）利用矢积表示的几何量及其关系261

二、逻辑代数初步261

1．逻辑代数的意义261

2．逻辑代数的基本概念262

（1）逻辑判断262

（2）逻辑命题262

（3）真命题262

（4）假命题262

（5）简单命题262

（6）逻辑函数262

3．三个联接词“或”、“与”、“非”的基本含义262

（1）逻辑加（“或”）262

（2）逻辑乘（“与”）262

（3）逻辑非（“—”）262

4．逻辑线路263

5．真值表264

6．逻辑运算264

7．逻辑恒等式及有关法则264

第十三部分 数学思维及其解题方法266

一、数学思维的概念266

1．数学思维266

2．思维的形式规律266

（1）同一律266

（2）矛盾律267

（3）排中律267

（4）充足理由律267

二、数学推理方法267

1．演绎推理267

2．归纳推理268

3．类比推理268

4．几种推理的比较269

三、数学解题方法269

1．基本的解题方法269

（1）配方法269

（2）换元法271

（3）待定系数法271

（4）反证法272

（5）同一法273

（6）数学归纳法274

2．常用的数学解题思想方法274

（1）分类与讨论275

（2）化归与转换275

（3）探索法275

（4）联想、类比、猜想276

（5）分析法与综合法277

（6）构造法277

（7）数形结合278

（8）等价的思想278

四、怎样解题279

1．“怎样解题”表279

（1）弄清问题279

（2）拟定计划280

（3）实现计划281

（4）回顾281

2．选择题及其解法281

附录Ⅰ 数学竞赛知识282

一、初等数论282

1．整除性282

2．素数（质数）282

3．算术基本定理282

4．辗转相除法283

5．数论函数〔x〕及｛x｝283

6．同余284

7．不定方程285

二、多项式的一些知识287

1．多项式的整除性287

2．多项式的根288

三、组合数学289

1．抽屉原则（重叠原则）289

2．母函数的一些知识289

3．递推关系与特征方程291

四、图论的基础知识292

1．图的概念292

2．子图293

3．平面图与有向图294

4．染色294

五、一些重要的不等式295

1．平均不等式295

2．贝努利不等式295

3．赫尔德不等式295

4．闵可夫斯基不等式295

5．柯西不等式296

6．排序不等式296

六、几个几何定理296

1．梅涅劳斯定理296

2．塞瓦定理296

3．蝴蝶定理297

4．斯台沃特定理297

5．托勒密定理297

附录Ⅱ 数学用表298

一、常数表298

二、平方表299

三、平方根表302

四、立方表307

五、立方根表313

六、阶乘数表320

七、倒数表321

八、正弦和余弦表325

九、正切和余切表328

十、常用对数表333

十一、反对数表337

十二、正弦对数和余弦对数表341

十三、正切对数和余切对数表346

十四、指数函数ex表353

十五、指数函数e-x表354

十六、度、分、秒化弧度表355

十七、弧度化度、分、秒表356

十八、等分圆周表357

十九、标准正态分布表358

二十、简易积分表360

二十一、常用计量单位表370

二十二、拉丁字母和希腊字母表373

附录Ⅲ 数学符号表374

附录Ⅳ 常见的外国数学家人名表378