《逆散射变换和孤立子理论》

第一章柯特维格-德佛累斯(KdV)方程1

1.1 历史情况介绍1

1.2 基本性质3

1.3 孤立子的行为5

1.4 初值问题 解的存在性和唯一性7

1.5 缪拉变换和修正KdV方程8

第二章用加德纳-格林-克鲁斯卡尔-缪拉方法求解逆散射变换11

2.1 直线上的薛定谔方程的散射问题12

2.2 位势满足KdV方程时谱的不变性14

2.3 散射量的演化17

2.3.1 特征函数的演化17

2.3.2 正规化系数Cn(t)的演化18

2.3.3 反射系数b(k，t)的演化20

2.4 关于逆散射变换求解法的总结和讨论22

2.5 纯N-孤立子解25

2.6 纯2-孤立子解：一个练习31

2.7 孤立子速度与特征值之间的关系34

2.8 任意初始条件下孤立子的出现40

2.8.1 问题的表述41

2.8.2 Ωc和To的分析42

2.8.3 盖尔芬德-莱维坦方程的解44

2.8.4 解的分解和估计45

第三章谱不变位势 拉克斯方法47

3.1 用初等方法证明离散特征值的不变性51

3.2 谱的不变性54

3.3 薛定谔方程的谱不变位势58

3.4 更一般自伴算子的谱不变位势61

3.5 另一种方法63

第四章薛定谔方程的散射和逆散射68

4.1 薛定谔方程的解和散射量70

4.2 解的性质75

4.2.1 作为积分方程的重新表述76

4.2.2 Imk≥O，k≠0时的存在性和唯一性78

4.2.8 Imk≥O，k≠0时的正则性83

4.2.4 渐近行为86

4.2.5 k=0附近的行为90

4.2.6 与参数有关的位势95

4.3 L2(？)上-？+u的谱97

4.4 解的傅里叶变换111

4.5 逆散射125

4.6 结束语134

第五章广义萨哈罗夫-沙巴特系统的散射和逆散射135

5.1 广义萨哈罗夫-沙巴特系统的解和散射系数137

5.2 解的性质140

5.3 (？)(？-Q)在L2(？)2上的谱149

5.4 解的傅里叶变换152

5.5 逆散射156

第六章逆散射变换的应用161

6.1 非线性薛定谔方程162

6.2 利用另一种方法对非退化一阶系统得到的谱不变位势167

6.3 用特别方法得到的谱不变位势的演化方程170

6.4 一般AKNS演化方程174

6.5 退化的一阶散射系统和正弦戈登方程179

6.6 高阶散射系统184

第七章微扰187

7.1 引言和概述187

7.2 关于薛定谔方程的散射量的演化190

7.2.1 离散特征值和反射系数190

7.2.2 正规化系数191

7.3 关于广义萨哈罗夫-沙巴特问题的散射量的演化194

7.3.1 离散特征值和反射系数196

7.3.2 正规化系数198

7.4 微扰分析200

参考文献207

人名对照表212