《有限元高精度理论》

第1篇有限元理论基础39

1 Sobolev空间41

1 整数阶Sobolev空间Wk,p(Ω)41

2 Wk,p（Ω）的嵌入定理47

3 延拓定理54

4 实数阶空间Hs(Ω)56

5 Sobolev空间的某些推广62

2 椭圆边值问题67

1 边值问题的L2理论67

2 多角形域上的L2理论71

3 Lp及Ca理论76

4 角域准确描述82

1 分片多项式85

3 分片多项式空间85

2 有限元空间94

3 逆性质97

4 插值误差101

5 数值求积及其误差107

6* 非连续函数的插值114

4 有限元的L2理论119

1 有限元法及步骤119

2 多角形域与零边值条件122

3 多角形域及非零边值126

4 曲边域与非零边值129

5* 上节结果的证明132

6 内部估计138

7 局部平均方法与内部超收敛性144

1 离散L2投影算子Ph152

5 正规化Green函数的估计152

2* δh的精致估计和圆环技术159

3 古典Green函数简介163

4 二维正规化Green函数166

5 导数型正规化Green函数176

6 有限元的Lp理论183

1 一维情形的Lp误差估计183

2 凸多角形上的最大模估计186

3 更精致的Lp估计191

第2篇椭圆有限元高精度分析195

7 一维问题的超收敛性197

1 一次元197

2 二次元205

3 数例208

4 正交展开与插值212

5 三类超收敛点218

6 C1－有限元族223

7 四阶问题227

8 四边形元的超收敛性235

1 双一次元Q1（1）235

2 二次元Q1（2）及双二次元Q2（2）241

3 正方形上的正交展开248

4 常系数情形的三类超收敛点255

5 变系数情形的三类超收敛点263

6 局部与整体坐标变换269

7 三维与四阶问题277

9 三角形元的超收敛性280

1 三角形剖分与线性插值280

2 常系数与均匀剖分290

3 变系数与强正规剖分299

4 常系数方程的大范围积分平均309

10 渐近展开与外推技术315

1 一般展开定理316

2 单元分析320

3 均匀网格上的渐近展式与弹性方程组329

4 变系数情形337

5 三维问题346

6 一般区域的讨论351

7 双二次矩形元的渐近展式359

8 外推技术364

9 数例370

11 有限元的校正法377

1 直接构造校正解378

2 组合校正格式384

3 基于超收敛性的校正法387

4 基于渐近展式的校正法与二次插值390

5 分块均匀剖分与高次插值397

6 高次元的校正400

7 数例404

12 非光滑解的高精度分析407

1 角域上的椭圆边值问题407

2 平面角域与正常光滑性假定411

3 局部加密网格与高精度414

4 坐标变换与渐近展式426

5 奇异基的使用438

6 数例443

第3篇其它问题的推广449

1 抛物初边值问题451

13 抛物与双曲问题451

2 半离散有限元逼近457

3 全离散有限元464

4 最大模估计与超收敛469

5 渐近展开474

6 抛物Green函数的估计480

7 导数型Green函数的研究487

8 双曲问题492

14 非线性问题499

1 拟线性椭圆问题的可解性499

2 有限元逼近及超收敛503

3 渐近展开511

4 解非线性问题的分层迭代校正法515

5 拟线性抛物问题的可解性520

6 抛物有限元及超收敛524

7 抛物积分微分方程的有限元530

8 弱非线性双曲问题537

9 高精度方法在面板堆石坝中的应用539

15 其它问题546

1 Neumann问题546

2 特征值问题550

3 变系数情形有限元方程的近似560

4 重调和方程的混合元565

5 Stokes问题569

6 积分方程579

7 奇异系数问题584

8 某些未解决的问题593

参考文献601