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第一章 引论1

1.1 协同学的研究对象1

1.2 物理学1

1.2.1 流体：动力学模式的形成1

1.2.2 激光：相干振荡6

1.2.3 等离子体：大量的不稳定性9

1.2.4 固体物理学：多重稳定性、脉冲、混沌9

1.3 工程11

1.3.1 建筑、机械和航天工程：后期压曲模式、颤动等11

1.3.2 电子工程和电子学：非线性振荡11

1.4 化学：宏观模式12

1.5 生物学14

1.5.1 几点述评14

1.5.2 形态形成15

1.5.3 群体动力学16

1.5.4 演化16

1.5.5 免疫系统16

1.6 计算机科学16

1.6.1 计算机网的自组织，并行计算16

1.6.2 机器识别模式17

1.6.3 由不可靠元件构成的可靠系统17

1.7 经济学18

1.8 生态学19

1.9 社会学19

1.10 上述诸例的共同特点是什么？20

1.11 我们要研究的方程形式20

1.11.1 微分方程21

1.11.2 一阶微分方程21

1.11.3 非线性22

1.11.4 控制参量22

1.11.5 随机性23

1.11.6 多分量和中观方法24

1.12 如何找直观解26

1.13 定性变化：一般方法38

1.14 定性变化：典型现象43

1.14.1 单结点(或单焦点)分岔为双结点(或双焦点)44

1.14.2 单焦点分岔为一个极限环(Hopf分岔)45

1.14.3 单极限环分岔46

1.14.4 一个环面分岔为其它环面50

1.14.5 混沌吸引子50

1.14.6 Lyapunov指数51

1.15 涨落(噪声)的冲击.非平衡相变54

1.16 空间模式的演变56

1.17 离散映象.Poincaré映象58

1.18 离散噪声映象68

1.19 通向自组织的途径68

1.19.1 改变控制参量引起自组织69

1.19.2 改变组分数引起自组织69

1.19.3 瞬变引起自组织70

1.20 我们如何着手70

第二章 线性常微分方程73

2.1 线性微分方程的几个例子：单变量情形73

2.1.1 常系数线性微分方程73

2.1.2 周期系数的线性微分方程74

2.1.3 准周期系数的线性微分方程75

2.1.4 有界实系数线性微分方程79

2.2 群和不变性81

2.3 被驱动系统84

2.4 代数方程和微分方程的几个一般定理88

2.4.1 方程的形式88

2.4.2 Jordan简正形式89

2.4.3 关于线性微分方程的几个一般定理90

2.4.4 广义特征指数和Lyapunov指数92

2.5 正向和逆向方程：对偶解空间94

2.6 常系数线性微分方程96

2.7 周期系数线性微分方程102

2.8 群论解释105

2.9 微扰近似108

第三章 准周期系数的线性常微分方程115

3.1 问题和定理3.1.1 的表述115

3.2 辅助定理(预备定理)118

3.3 定理3.1.1推论a)的证明：三角矩阵的结构：一个2×2阶矩阵的例子123

3.4 证明三角矩阵C的矩阵元是τ的准周期函数(且为ψi周期函数，而对ψ是Ck)：一个2×2阶矩阵的例子125

3.5 三角矩阵C的结构及其矩阵元是τ的准周期函数的证明(且为ψi的周期函数，而对ψ是Ck)：一个所有λ都不同的m×m阶矩阵的情况128

3.6 近似方法.滤波法131

3.6.1 变分法132

3.6.2 滤波法132

3.7 三角矩阵C及其约化135

3.8 一般情况：若干广义特征指数相同142

3.9 用迭代法求(3.1.1)的显解148

第四章 随机非线性微分方程156

4.1 一个例子156

4.2 ？to微分方程和？to-Fokker-Planck方程159

4.3 Stratonovich计算法163

4.4 Langevin方程和Fokker-Planck方程167

第五章 耦合非线性振子的世界168

5.1 耦合在一起的线性振子169

5.1.1 线性耦合的线性振子169

5.1.2 非线性耦合的线性振子.一个例子.频率移动170

5.2 对幅度与时间无关的准周期运动的扰动(准周期运动将持续)172

5.3 有关步骤收敛性的一些探讨179

第六章 振子的非线性耦合：准周期运动的持续情况186

6.1 问题186

6.2 Moser定理(定理6.2.1)193

6.3 迭代法195

第七章 非线性方程.伺服原理202

7.1 一个例子202

7.1.1 绝热近似203

7.1.2 精确消元法204

7.2 伺服原理的一般形式.基本方程210

7.3 形式关系式213

7.4 迭代法218

7.5 剩余项的估算.可微性问题220

7.6 离散噪声映象的伺服原理222

7.7 形式关系式223

7.8 离散情况的迭代法230

7.9 随机微分方程的伺服原理232

第八章 非线性方程.宏观性质上的各种变化239

8.1 单结点或焦点的分岔.基本变换239

8.2 单个实本征值变为正242

8.3 多个实本征值变为正245

8.4 单个复数本征值穿越虚轴.Hopf分岔247

8.5 Hopf分岔(续)249

8.6 两振子之间的频率锁定256

8.7 极限环分岔259

8.8 极限环分岔：几种特殊情况263

8.8.1 分岔为两个极限环263

8.8.2 周期加倍265

8.8.3 次谐波266

8.8.3 分岔为环面268

8.9 一个环面的分岔(准周期运动)270

8.10 环面分岔：几种特殊情况274

8.10.1 单个实数本征值变为正274

8.10.2 一个复数非简并本征值穿越虚轴277

8.11 不稳定性的层次、几种图景和通向湍流的道路281

8.11.1 Landau-Hopf图象281

8.11.2 Ruelle和Takens图象282

8.11.3 环面分岔.准周期运动283

8.11.4 通向混沌的倍周期道路.Feigenbaum序列283

8.11.5 经过间歇现象的道路284

第九章 空间模式285

9.1 基本微分方程285

9.2 一般解法288

9.3 对有限几何结构的分岔分析290

9.4 广义Ginzburg-Landau方程292

9.4 广义Ginzburg-Landau方程的简化形式.Bénard对流中的模式形成296

第十章 噪声的作用300

10.1 一般方法300

10.2 一个简单的例子301

10.3 单复数序参量Fokker-Planck方程的计算机解304

10.4 有关Fokker-Planck方程解的几个有用的一般定理311

10.4.1 当漂移系数是坐标的线性函数， 而扩散系数是常数时，Fokker-Planck方程的含时解与时间无关解311

10.4.2 细致平衡系统的Fokker-Planck方程的精确稳定解313

10.4.3 一个例子317

10.4.4 几种有用的特殊情形319

10.5 接近临界点的非线性随机系统：小结320

第十一章 离散噪声映象321

11.1 Chapman-Kolmogorov方程321

11.2 边界的影响.一维例子322

11.3 联合几率和转移几率.前向方程和逆向方程323

11.4 与Fredholm积分方程的关系324

11.5 路径积分解325

11.6 平均第一次推移时间326

11.7 线性动力学和Gaussian噪声.Chapman-Kolmog-orov方程的精确含时解328

第十二章 动力学中一种不可解问题的例子330

第十三章 评论协同学与其它科学的关系332

附录 Moser定理的证明336

A.1 Fourier级数的收敛性336

A.2 定理6.2.1问题的最一般解338

A.3 收敛结构340

A.4 定理6.2.1的证明351