《分形和分维引论》

第一章 自然界的分形现象1

1 海岸线有多长1

2 湍流有多少涡旋2

3 Sierpinski海绵或垫片2

4 Cantor集合3

5 Weierstrass函数5

6 雪花是如何形成的7

7 粘性脂化(viscous fingering)和生长现象8

8 生物和宇宙全息律10

9 地震活动11

10 气候有周期吗13

第二章 分形的意义15

1 分形的定义15

2 分数维大于拓扑维但小于所占领的空间维17

3 复杂性的量度21

4 湍流间歇性的量度23

5 自相似和标度不变性24

6 相变和临界指数25

7 攻率谱指数和分维27

8 带有不等比的标度28

9 生长现象的分维30

10 自仿射的分维31

11 零集32

12 谱维数34

第三章 浑沌吸引子的分维36

1 浑沌模型36

2 自相似性及标度律37

3 Feigenbaum常数和分维40

4 浑沌和相变之间的相似性43

5 复映射和Julia集44

6 Yorke公式48

7 浑沌吸引子的信息50

8 浑沌吸引子的多分维53

9 二维映射及吸引域的边界54

第四章 多分维及其标度律58

1 单标度和多标度58

2 非均匀分布的Cantor集合62

3 奇异性标度指数a及分布函数标度指数f(a)64

4 Renyi信息和Dq67

5 人口分布的多分维过程70

6 Devil′s楼梯73

7 有两个长度尺度的非均匀分布多分维过程75

8 时间序列的多分维77

9 分层电阻网络79

10 增长模型81

11 子波变换83

第五章 时间序列中的分维87

1 重建相空间87

2 嵌入定理89

3 相关维数的等价性90

4 可预报性93

5 信息、熵和层次95

6 信息压缩98

7 分数维布朗运动100

8 1/f噪声及其维数103

9 浑沌时间序列的非线性模式110

第六章 地球物理学中的分形114

1 跨越很宽的尺度114

2 湍流过程114

3 细粒化和粗视化117

4 α和β模式，椭圆维数120

5 双曲分布121

6 重整化群方法123

7 用重整化群方法研究地震128

8 自组织临界现象131

1 同宿轨道136

第七章 同宿和异宿轨道--孤立波和冲击波136

2 异宿轨道138

3 鞍-结和鞍-焦异宿轨道140

4 反应扩散方程中的同(异)宿轨道142

5 Schrodinger方程中的同(异)宿轨道143

6 碰撞等离子体的激波145

7 大气环流方程的同(异)宿轨道146

8 三阶系统中的同宿轨道148

9 湍流的KdV-Burgers方程模型149

10 关于湍流能谱的若干问题152

1 Kolmogorov理论及其问题156

第八章 湍流的多分维过程156

2 多分维Dq和间歇性指数158

3 标度律和f(a)谱159

4 对数正态分布模式160

5 两尺度Cantor集合模式162

6 β模式163

7 标量湍流场165

8 标量湍流场的各种模式168

习题170

参考书目175