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第一章 无穷维分析的基础知识1

1. Hilbert空间中的线性算子1

1.1 基本概念、记号及若干引理1

1.2 可闭算子、对称算子与自共轭算子5

1.3 下半有界对称算子的自共轭延拓10

1.4 自共轭算子的谱分解12

1.5 Hilbert-Schmidt算子与迹算子18

2. Fock空间与二次量子化24

2.1 Hilbert空间的张量积24

2.2 Fock空间30

2.3 二次量子化算子32

3. 赋可列范空间与核空间36

3.1 赋可列范空间及其对偶空间37

3.2 核空间及其对偶空间42

3.3 拓扑张量积、Schwartz核定理47

4. 拓扑线性空间上的Borel测度51

4.1 Minlos-Sazanov定理51

4.2 Hilbert空间上的Gauss测度60

4.3 Banach空间上的Gauss测度64

第二章 Malliavin随机变分学73

1. Gauss概率空间与Wiener混沌分解74

1.1 Gauss概率空间及其上的泛函74

1.2 数值模型79

1.3 多重Wiener-It？积分表示83

2. 泛函的微分运算、梯度与散度89

2.1 有限维Gauss概率空间89

2.2 光滑泛函的梯度与散度95

2.3 泛函的Sobolev空间100

3. Meyer不等式及其推论106

3.1 Ornstein-Uhlenbeck半群106

3.2 Lp乘子定理111

3.3 Meyer不等式114

3.4 Meyer-Watanabe广义泛函120

4. 非退化泛函的分布密度125

4.1 Malliavin协方差阵及若干引理125

4.2 分布密度的存在性129

4.3 分布密度的光滑性133

4.4 例137

第三章 Wiener泛函的随机变分140

1. It？泛函的微分分析与热核的正则性140

1.1 Skorohod积分140

1.2 随机微分方程解的光滑性146

1.3 亚椭圆性与H？rmander条件149

1.4 H？rmander定理的概率证明155

2. Wiener空间中的位势理论与拟必然分析161

2.1 (k,p)-容度161

2.2 拟连续修正165

2.3 容度的胎紧性、连续性与不变性168

2.4 正广义泛函与有限能量测度172

2.5 随机过程的拟必然轨道性质176

3. 非适应随机分析179

3.1 Skorohod积分的Riemann和逼近180

3.2 非适应过程的It？公式184

3.3 非适应随机微分方程193

第四章 白噪声分析的一般理论200

1. 白噪声分析的一般框架201

1.1 Wick 张量积与Wiener-It？-Segal同构202

1.2 检验泛函与广义泛函空间205

1.3 经典的白噪声分析框架211

2. 泛函空间的刻画212

2.1 S-变换与空间(E)-βC(O≤β<1)的刻画213

2.2 局部S-变换与空间(E)-1C的刻画221

2.3 检验泛函空间的两种刻画223

2.4 广义泛函的若干例子228

3. 泛函的乘积与Wick积236

3.1 泛函的乘积236

3.2 广义泛函的Wick积240

3.3 应用于Feynman积分243

4. 广义泛函空间的矩刻画与正广义泛函245

4.1 重正化算子245

4.2 广义泛函空间的矩刻画248

4.3 正广义泛函的测度表示250

4.4 应用于P(φ)2-量子场259

第五章 广义泛函空间中的线性算子264

1. 广义泛函的分析运算264

1.1 刻度变换264

1.2 推移算子与Sobolev微分267

1.3 梯度算子与散度算子272

2. 广义泛函空间中的连续线性算子275

2.1 算子的象征与混沌分解276

2.2 广义算子的S-变换与Wick积282

3. 积分核算子与算子的积分核表示288

3.1 张量积的缩合288

3.2 积分核算子291

3.3 广义算子的积分核表示299

4. 在量子物理中的若干应用303

4.1 量子随机积分303

4.2 Klein-Gordon场306

4.3 无穷维经典Dirichlet型309

附录A Hermite多项式与Hermite函数317

附录B 局部凸空间及其对偶322

1. 半范、范数与H范322

2. 局部凸拓扑线性空间、有界集323

3. 投影拓扑与拓扑投影极限325

4. 归纳拓扑与拓扑归纳极限326

5. 对偶空间与弱拓扑327

6. 相容性和Mackey拓扑328

7. 强拓扑和自反性329

8. 对偶映射330

9. 均匀凸空间和Banach-Saks定理331

评注332

参考文献337

名词索引360

符号说明365