《实分析引论》

第一章预备知识1

1 集合的运算1

一、集合的代数运算1

二、集合的极限运算4

三、常用的集族5

2 集合的基数7

一、基数的概念7

二、可数集9

三、不可数集11

3 集合与函数的关系14

第二章点集的拓扑概念20

1 距离空间中的拓扑概念20

一、？，E’，？的性质24

二、开集与闭集的性质24

2 Rn中开集、闭集的构造，Cantor集29

一、开集的构造29

二、Cantor集30

3 覆盖33

一、函数的连续性35

4 连续性35

二、映射的连续性41

第三章测度论45

1 从体积到外测度45

一、Lebesgue外测度45

二、抽象外测度50

2 Lebesgue测度52

3 Lebesgue可测集的特征性质59

二、抽象测度65

一、距离测度65

4 抽象测度65

第四章可测函数72

1 可测函数的定义及其基本性质72

一、基本概念72

二、可测函数的基本性质75

2 可测函数列的收敛性83

一、不同意义下的收敛性83

二、几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系84

三、依测度收敛与几乎处处收敛的关系86

四、依测度收敛的其它性质89

3 可测函数的结构(Lusin定理)90

第五章积分论94

1 Lebesgue积分的定义94

一、从(R)积分到(L)积分94

二、(L)积分的逼近定义98

三、用测度定义积分101

一、积分区域的可加性103

2 (L)积分的初等性质103

二、零集上的积分105

三、单调性105

四、线性性质107

五、绝对可积性109

六、Chebyshev不等式和唯一性定理109

七、积分的绝对连续性111

八、可积函数的逼近性质112

3 (L)积分列的极限定理117

一、基本的极限定理118

二、极限定理的应用举例122

4 (L)积分与(R)积分的关系，(L)积分的推广131

一、(R)可积的充要条件131

二、(L)可积与(R)可积的关系133

三、(L)积分的推广136

5 Fubini定理139

一、Fubini定理140

二、Fubini定理的逆命题146

三、抽象Fubini定理147

一、Vitali型覆盖引理150

1 覆盖与极大函数150

第六章微分论150

二、极大函数152

2 Lebesgue微分定理154

3 单调函数158

4 有界变差函数和绝对连续函数163

一、有界变差函数163

二、绝对连续函数171

5 不定积分174

参考文献178