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第一章 理论基础1

引言1

定义2

转置矩阵的特征值与特征向量3

不相同的特征值4

相似变换6

重特征值与一般矩阵的标准型7

亏损特征向量系8

Jordan(经典的)标准型10

初等因子11

A的特征多项式的友矩阵12

非减次矩阵13

Frobenius(有理的)标准型15

Jordan标准型与Frobenius标准型的关系16

相抵变换17

λ矩阵18

初等运算19

Smith标准型19

λ矩阵的k行子式的最大公因子22

(A-λI)的不变因子22

三角标准型24

Hermite矩阵与对称矩阵24

Hermite矩阵的基本性质25

复对称矩阵27

用酉变换化成三角型27

二次型27

正定性的充要条件29

常系数微分方程30

对应于非线性初等因子的解31

高阶微分方程33

特殊形式的二阶方程34

By=-Ay的显式解35

形如(AB-λI)x=0的方程36

向量的最小多项式37

矩阵的最小多项式38

Cayley-Hamilton定理39

最小多项式与标准型的关系40

主向量43

初等相似变换44

初等矩阵的性质46

用初等相似变换化成三角标准型46

初等酉变换48

初等酉Hermite矩阵49

用初等酉变换化成三角型51

正规矩阵52

可交换矩阵53

AB的特征值55

向量与矩阵的范数56

从属的矩阵范数57

Euclid范数与谱范数58

范数与极限59

避免使用矩阵无穷级数62

第二章 摄动理论64

引言64

关于特征值连续性Ostrowski定理65

代数函数66

数值例题67

单特征值的摄动理论68

对应特征向量的摄动69

具有线性初等因子的矩阵70

特征值的一阶摄动71

高阶摄动72

特征向量的一阶摄动72

重特征值73

Gerschgorin定理73

基于Gerschgorin定理的摄动理论75

情形 1.具有线性初等因子矩阵的单特征值λ1的摄动75

情形 2.具有线性初等因子矩阵的重特征值λ1的摄动78

情形 3.具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征值的摄动80

情形 4.相应于非减次矩阵非线因子的特征值的摄动82

情形 5.当有一个以上(λ1-λ)幂次的初等因子且至少有一个为非线性时，特征值λ1的摄动83

相应于非线性因子一般分布的摄动84

根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论84

相应于重特征值(线性初等因子)的特征向量的摄动86

摄动理论的限度87

s？之间的关系88

条件数89

计算问题的条件89

矩阵A关于特征值问题的谱条件数90

谱条件数的性质91

条件数的不变性92

非常病态的矩阵93

实对称矩阵的摄动理论96

非对称摄动96

对称摄动97

经典方法98

秩为1的对称矩阵101

特征值的极值性质102

特征值的极小-极大性质103

两个对称矩阵之和的特征值105

实际应用106

分隔定理107

极小-极大原理的进一步应用107

Wielandt-Hoffman定理108

第三章 误差分析114

引言114

定点运算114

内积的累加115

浮点运算116

误差界的简化表示117

某些基本浮点计算的误差界118

误差矩阵的范数的界119

浮点运算中内积的累加120

某些基本 fl2()计算的误差界121

平方根的计算123

块浮点向量和矩阵123

t位计算的基本限制124

用相似变换作简化的特征值方法127

基于初等非酉变换方法的误差分析128

基于初等酉变换的方法的误差分析130

酉变换的优越性132

实对称矩阵133

酉变换的限度134

用浮点计算的平面旋转的误差分析135

用平面旋转的乘法137

用一系列平面旋转做乘法139

近似的平面旋转乘积的误差144

相似变换的误差145

对称矩阵146

定点运算的平面旋转148

sinθ和cosθ的另一种算法149

用近似的定点旋转左乘150

用一系列平面旋转相乘(定点)151

一组近似平面旋转的计算乘积153

相似变换的误差153

关于误差界的总评述156

浮点计算的初等Hermite矩阵157

初等Hermite矩阵计算的误差分析158

数值例子162

用近似的初等Hermite矩阵左乘163

用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法166

类似平面旋转的非酉初等矩阵168

类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵169

用非酉矩阵序列左乘171

先验的误差界172

正规性的偏离173

简单的例子175

后验的界176

正规矩阵的后验的界177

Rayleigh商178

Rayleigh商的误差180

Hermite矩阵181

病态地靠近的特征值183

非正规矩阵185

完全特征系的误差分析187

数值例子188

限制可达精度的条件189

非线性初等因子190

近似的不变子空间192

几乎正规矩阵195

第四章 线性代数方程组的解法197

引言197

摄动理论197

条件数199

平衡矩阵200

简单的实际例子201

特征向量矩阵的条件201

显式解202

对矩阵条件的总评述203

病态和几乎奇异的关系204

t位运算的限制205

解线性方程组的算法206

Gauss消去法208

三解形分解208

三角形分解矩阵的结构209

三角形矩阵元素的显式表达式210

Gauss消去法的中断212

数值稳定性213

交换的重要性214

数值例子215

Gauss消去法的误差分析217

用定点运算的摄动矩阵的上界219

约化后的矩阵元素的上界220

全主元素220

部分主元素方法的实际过程222

浮点误差分析222

不选主元素的浮点分解224

有效位的损失225

流传的谬误225

特殊形式的矩阵226

在高速计算机上的Gauss消去法229

对应不同的右端的解230

直接的三角形分解230

Gauss消去法和直接的三角形分解的关系231

分解不唯一和失败的例子232

有行交换的三角形分解233

三角形分解的误差分析236

行列式计算238

Cholesky分解238

对称非正定矩阵239

定点运算Cholesky分解的误差分析240

病态矩阵242

用初等Hermite矩阵的三角形化243

Householder三角形化的误差分析246

用M′ii型初等稳定矩阵的三角形化246

前主子式的计算247

用平面旋转的三角形化249

Givens约化的误差分析250

正交三角形化的唯一性251

Schmidt正交化252

三角形化方法的比较254

向后回代256

三角形方程组的计算解的高精度259

一般的方程组的解261

一般矩阵的逆的计算262

计算解的精度263

没有小主元素的病态矩阵264

近似解的迭代改进265

迭代过程中舍入误差的影响266

定点计算的迭代过程267

迭代过程的一个简单例子268

迭代过程的总评述270

有关的迭代法271

迭代过程的极限272

迭代法的严格的调整272

实对称矩阵的经典Jacobi方法275

第五章 Hermite矩阵275

引言275

收敛率277

收敛于固定的对角矩阵278

顺序Jacobi方法279

Gerschgorin圆280

Jacobi方法的最后的二次收敛性280

靠近的和重的特征值282

数值例子283

cosθ和sinθ的计算284

更简单的转角计算方法287

过关Jacobi方法288

特征向量计算289

数值例子289

Jacobi方法的舍入误差290

计算的特征向量的精确度291

用定点计算的误差界292

程序编制问题293

Givens方法293

在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法295

Givens方法的浮点误差分析297

定点误差分析298

数值例子299

Householder方法302

利用对称性304

存储方案的研究304

在有内、外存储设备的计算机上实现Householder方法305

用定点运算的Householder方法306

数值例子307

Householder方法的误差分析309

对称三对角矩阵的特征值310

Sturm序列性质311

分半法313

分半法的数值稳定性314

数值例子317

关于分半法的总评述318

小特征值319

靠近的特征值和小β？319

特征值的定点计算324

三对角型的特征向量计算327

特征向量显式表达式的不稳定性328

数值例子330

逆迭代333

初始向量b的选择335

误差分析336

数值例子337

靠近的特征值和小的β？339

对应重特征值的线性独立特征向量340

计算特征向量的交替方法343

数值例子344

三对角矩阵特征问题的评论344

Givens和Householder方法的完成345

方法的比较347

拟对称三对角矩阵348

特征向量的计算349

形如Ax=λBx和ABx=λx的方程349

数值例子351

同时简化A和B为对角型352

三对角矩阵A和B353

复Hermite矩阵354

Givens方法359

第六章 化一般矩阵为压缩型359

引言359

Householder方法361

存储方案的研究364

误差分析365

Givens方法与Householder方法的关系366

初等稳定变换368

置换的意义370

直接约化矩阵为Hessenberg型371

结合交换373

数值例子374

误差分析378

有关的误差分析380

Hessenberg矩阵的劣定383

用M′ii型稳定矩阵化为Hessenberg型383

Krylov方法384

逐列Gauss消去法385

实际的困难386

对于某些标准的特征值分布的C的条件387

级小于n的初始向量389

实际的经验391

广义Hessenberg方法392

广义Hessenberg方法的失败393

Hessenberg方法395

实际的方法395

Hessenberg方法与以前的方法的关系396

Arnoldi方法397

实际的考虑398

再正交化的重要性400

Lanczos方法403

过程的故障404

数值例子406

实际的Lanczos方法406

数值例子408

非对称的Lanczos方法的总评述409

对称的Lanczos方法410

化Hessenberg矩阵为更压缩的形式411

化下Hessenberg矩阵为三对角型411

使用交换412

小主元素的影响414

误差分析415

应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法417

Hessenberg方法与Lanczos方法的关系418

化一般矩阵为三对角型419

化矩阵为三对角型的重新考察420

和Lanczos方法比较420

化上Hessenberg型为Frobenius型421

小主元素的影响423

数值例子423

关于稳定性的总评述424

特殊的上Hessenberg型425

直接确定特征多项式426

第七章 压缩型矩阵的特征值429

引言429

显式多项式形式429

显式多项式的条件数432

某些典型的零点分布433

Krylov方法的总评述437

显式多项式的总评述437

三对角矩阵439

Hessenberg矩阵的行列式442

舍人误差的影响443

浮点累加445

用正交变换计算446

一般矩阵的行列式计算448

广义特征值问题448

间接确定特征多项式449

Le Verrier方法450

以插值为基础的迭代法451

渐近收敛率452

多重零点454

函数关系的逆456

区间分半法458

Newton法458

Newton法与插值法的比较459

三次收敛的方法460

Laguerre方法461

复零点464

复共轭零点465

Bairstow方法467

广义的Bairstow方法468

实际的考虑470

舍入误差对渐近收敛性的影响471

区间分半法471

逐次线性插值473

多重的和病态靠近的特征值475

其它的插值法476

使用导数的方法478

接收零点的准则479

舍入误差的影响480

消除已计算的零点481

Hessenberg矩阵的降阶482

三对角矩阵的降阶485

用旋转或稳定的初等变换降价487

降阶的稳定性489

关于降阶的总评述491

消除已计算的零点491

消除已计算的二次因子492

关于消除零点方法的总评述493

渐近收敛率495

大范围的收敛性495

复零点498

建议499

复矩阵500

含有独立参数的矩阵500

第八章 LR和QR算法503

引言503

有复特征值的实矩阵504

LR算法505

As的收敛性证明507

正定Hermite矩阵511

复共轭特征值512

引进交换516

数值例子517

修改过程的收敛性518

初始矩阵的预先约化519

上Hessenberg型的不变性520

行和列同时运算522

收敛的加速523

结合原点的移动524

选择原点的移动525

矩阵降阶527

关于收敛性的实际经验528

改进的移动策略529

复共轭特征值530

修正的LR算法的缺点532

QR算法533

QR算法的收敛性534

收敛性的正式证明535

特征值的不同顺序537

等模的特征值538

LR算法的另一个证明539

QR算法的实际应用541

原点移动542

As的分解543

数值例子544

实际的方法545

避免复共轭位移546

用初等Hermite变换的双步QR550

计算的细节552

As的分解552

LR的双位移技术554

对LR算法和QR算法的评述555

多重特征值557

降阶法的特殊用途561

对称矩阵561

LR算法与QR算法的关系562

Cholesky LR算法的收敛性564

QR算法的三次收敛性565

Cholesky LR中的原点位移568

Cholesky分解失败568

三次收敛的LR方法570

带状矩阵572

带状矩阵的QR分解575

误差分析579

非对称带状矩阵580

在QR算法中同时分解和复合583

缩小带宽585

第九章 迭代法588

引言588

幂法588

单个向量的直接迭代589

原点移动590

舍入误差的影响591

p的变化594

p的特别选择595

Aitken的加速方法596

复共轭特征值597

复特征向量的计算599

原点移动600

非线性初等因子601

同时决定几个特征值602

复矩阵603

收缩法603

用相似变换的收缩法604

用不变子空间的收缩法605

用稳定初等变换的收缩法606

用酉变换的收缩法608

数值稳定性609

数值例子611

酉变换的稳定性613

非相似变换的收缩法614

用不变子空间的一般约化617

实际应用620

梯级迭代621

复共轭特征值的精度确定623

十分靠近的特征值625

正交化方法625

正交化的梯级迭代626

双迭代628

数值例子629

Richardson改进方法633

矩阵平方法634

数值稳定性636

Chebyshev多项式的使用637

关于直接迭代的总评述638

逆迭代638

逆迭代的误差分析639

分析的总评述641

特征向量的进一步改进642

非线性初等因子645

Hessenberg矩阵的逆迭代646

退化情况647

带形矩阵逆迭代648

复共轭特征向量649

误差分析651

数值例子652

广义特征值问题654

近似特征值的变更655

特征系的改进657

数值例子661

特征向量的改进661

复共轭特征值664

重的和非常靠近的特征值665

对ACE程序的评述667

参考文献670