《有限元与近似法》

第一章 连续体边值问题和有限差分法1

第1.1节 引言1

第1.2节 连续体问题的例题2

第1.3节 一维有限差分5

1．导数的有限差分近似式6

2．用有限差分法解微分方程10

习题 1.1～1.713

第1.4节 导数边界条件15

习题 1.8～1.1018

第1.5节 非线性问题19

习题 1.11～1.1322

第1.6节 高维有限差分23

习题 1.14～1.1929

第1.7节 含不规则形状区域的问题32

第1.8节 高维非线性问题34

第1.9节 逼近和收敛34

第1.10节 结束语36

习题 1.20～1.2337

参考文献38

提高读物39

第二章 加权残数法：连续试探函数的应用40

第2.1节 引言——试探函数近似法40

1．函数的点拟合41

2．傅立叶正弦级数43

第2.2节 加权残数近似法44

1．配点法45

2．子域法46

3．伽辽金法46

4．其它权函数48

习题 2.1～2.351

第2.3节 应用试探函数—加权残数形式逼近微分方程的解。选择满足边界条件的试探函数51

习题 2.4～2.860

第2.4节 同时逼近微分方程的解和边界条件61

习题 2.9～2.1265

第2.5节 自然边界条件67

1．热传导方程的自然边界条件69

习题 2.13～2.1874

第2.6节 边界解法76

第2.7节 微分方程组80

习题 2.19～2.2193

第2.8节 非线性问题94

习题 2.22～2.2598

第2.9节 结束语98

参考文献99

提高读物100

第三章 分片试探函数和有限元法101

第3.1节 引言——有限元法概念101

第3.2节 局部定义的典型窄基形函数102

第3.3节 微分方程近似解和连续性要求108

第3.4节 弱列式和伽辽金法111

第3.5节 一维问题112

习题 3.1～3.10129

第3.6节 标准离散系统。方程装配过程的物理模拟129

习题 3.11～3.12137

第3.7节 有限元概念在二维和一维问题中的推广138

1．概述138

2．线性三角形单元138

3．双线性矩形单元142

4．线性三维单元144

第3.8节 有限元法应用于二维热传导问题145

1．三角形单元146

2．矩形单元149

习题 3.13～3.19160

第3.9节 三角形单元用于二维弹性应力分析163

习题 3.20～3.21167

第3.10节 有限差分法是有限元法的特例吗？167

第3.11节 结束语171

参考文献173

提高读物174

第四章 高次有限元近似法175

第4.1节 引言175

第4.2节 试探函数中多项式的幂次与收敛率176

第4.3节 分片试验178

第4.4节 具C0阶连续的一维单元标准高次形函数178

习题 4.1～4.7184

第4.5节 具有C0阶连续的一维单元高次层次形函数185

1．概述185

2．层次多项式187

3．几乎正交的层次多项式189

习题 4.8～4.12193

第4.6节 二维矩形单元高次形函数193

第4.7节 二维三角形单元形函数201

1．标准型形函数——面积坐标201

2．层次型形函数204

第4.8节 三维形函数205

第4.9节 结束语206

习题 4.13～4.21207

参考文献208

提高读物208

第五章 映射和数值积分209

第5.1节 映射的概念209

1．概述209

2．参数映射215

习题 5.1～5.11218

第5.2节 数值积分222

1．概述222

2．一维高斯求积公式225

3．二维和三维高斯求积法228

习题 5.12～5.16231

第5.3节 其它的映射231

1．概述231

2．混合函数映射232

3．采用解辅助方程的映射234

习题 5.17～5.20235

4．无限元237

习题 5.21～5.22245

第5.4节 网格生成与结论246

参考文献248

提高读物248

第六章 变分法250

第6.1节 引言250

第6.2节 变分原理250

习题 6.1～6.3255

第6.3节 自然变分原理的建立256

1．对称算子256

习题 6.4～6.7258

2．对称算子的变分原理258

习题 6.8～6.12263

第6.4节 用瑞利—里兹法求微分方程的近似解265

习题 6.13～6.16268

第6.5节 拉格朗日乘子的应用269

习题 6.17～6.19271

1．拉格朗日乘子的物理意义及修正272

的变分原理272

习题 6.20～6.22275

第6.6节 广义变分原理276

第6.7节 罚函数277

习题 6.23～6.25280

第6.8节 最小二乘法280

习题 6.26～6.27286

第6.9节 结束语286

参考文献288

提高读物288

第七章 部分离散化和非稳态问题289

第7.1节 引言289

第7.2节 边值问题的部分离散化289

习题 7.1～7.3292

第7.3节 非稳态问题的部分离散化293

习题 7.4～7.8298

第7.4节 解析法299

1．二阶方程组的自由响应299

2．一阶方程组的自由响应301

3．模态分解的瞬时响应301

习题 7.9～7.11306

第7.5节 时间域的有限元解法306

1．一阶方程组307

2．一阶方程组的特殊格式310

3．一阶方程组的多点格式313

4．二点格式的稳定性317

习题 7.12～7.16323

5．二阶方程组324

6．二阶方程组中三点格式的稳定性328

7．非线性的非稳态问题331

习题 7.17～7.23332

参考文献333

提高读物334

第八章 广义有限元误差估计与结论335

第8.1节 广义有限元法335

第8.2节 数值解中的离散误差336

第8.3节 离散误差337

第8.4节 离散误差估计338

习题 8.1～8.3346

第8.5节 结束语347

参考文献348

提高读物349

索引350