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第一章 线性空间与线性映射1

1.1 线性空间的基本概念1

1.2 线性组合、线性相关与线性无关4

1.3 线性空间的维数与基9

1.4 子空间的运算12

1.5 子空间的直接和16

1.6 有限维线性空间的同构22

1.7 线性映射与矩阵24

1.8 子空间的线性映射27

1.9 可逆线性变换32

1.10 初等变换矩阵35

1.11 矩阵的列空间R(A)与秩rank(A)37

1.12 化零空间N(A)与线性方程组理论42

1.13 问题与习题46

第二章 多项式与多项式矩阵49

2.1 线性代数49

2.2 多项式环与Euclide除法53

2.3 多项式函数57

2.4 多项式理想60

2.5 多项式的因式分解63

2.6 多项式矩阵68

2.7 单模态矩阵与多项式矩阵的Srnith标准形72

2.8 初等因子78

2.9 多项式矩阵的理想与互质82

2.10 一般多项式矩阵的互质问题86

2.11 问题与习题90

第三章 线性变换95

3.1 特征值问题95

3.2 相似化简、相似条件与自然法式100

3.3 C？与R？中的Jordan形106

3.4 Jordan标准形的讨论111

3.5 商空间117

3.6 正则投影与诱导映射120

3.7 最小多项式与空间第一分解定理124

3.8 循环不变子空间与空间第二分解定理128

3.9 循环指数与循环子空间的条件134

3.10 空间第三分解定理与生成元的性质141

3.11 P=C的情形144

3.12 问题与习题147

第四章 二次型、酉空间与酉空间上的线性变换155

4.1 二次型及对称矩阵155

4.2 Hecmite矩阵与正定矩阵159

4.3 内积、酉空间与欧氏空间165

4.4 正交与正交投影168

4.5 酉变换与酉相似化简173

4.6 可酉对角化矩阵(正规矩阵)177

4.7 R？中的正规矩阵184

4.8 可交换矩阵的谱189

4.9 Hermite矩阵的特征值与Raylcigh商191

4.10 Hermite矩阵特征值的摄动定理195

4.11 适优序列、双和一矩阵及其应用199

4.12 子空间套与特征值不等式205

4.13 正则矩阵束的特征值问题211

4.14 ？的特征值摄动214

4.15 问题与习题219

第五章 范数、凸性与范数的应用224

5.1 向量范数与向量范数系224

5.2 凸集合与e.s.c范数230

5.3 凸集合的分离定理236

5.4 矩阵范数240

5.5 算子范数243

5.6 谱半径ρ(A)248

5.7 Gerschgorin定理与ρ(A)的近似估计252

5.8 矩阵序列的极限与极限法则255

5.9 A-1的连续性与方程组的摄动理论259

5.10 正定矩阵的正定平方根264

5.11 问题与习题269

第六章 投影算子与广义逆矩阵A+273

6.1 投影算子与可对角化矩阵的谱展开273

6.2 投影算子的运算279

6.3 广义逆分类与A{1}281

6.4 A+的存在与构造286

6.5 广义逆矩阵类与矩阵方程289

6.6 按投影要求子空间的{1}广义逆294

6.7 受约束的广义逆与Bott-Duffin逆300

6.8 分块矩阵的广义逆304

6.9 线性流形的描述及其交307

6.10 线性并行方程组的公共解与分块广义逆312

6.11 问题与习题316

第七章 矩阵函数及其应用322

7.1 一般矩阵按根子空间的展开与矩阵函数322

7.2 用矩阵多项式定义矩阵函数326

7.3 Lagrange-Sylvester插值多项式的应用330

7.4 矩阵幂级数335

7.5 矩阵解析函数的复变积分表示341

7.6 矩阵对数与极展开345

7.7 矩阵指数应用Ⅰ--稳定性理论349

7.8 矩阵指数应用Ⅱ--可控性与可观测性353

7.9 可控性的本质358

7.10 问题与习题363

第八章 方阵的谱广义逆与矩阵的奇值365

8.1 群逆A？及其性质365

8.2 具Hermite域的线性变换368

8.3 方阵的谱逆与群逆的谱特性370

8.4 矩阵的Drazin逆373

8.5 A？与A+的进一步讨论378

8.6 矩阵的奇值383

8.7 矩阵的UDVH分解、奇值分解与应用386

8.8 奇值分解的一个应用--矩阵逼近389

8.9 奇值摄动395

8.10 次酉矩阵398

8.11 极展开及其应用400

8.12 压缩映射与正规次酉映射404

8.13 问题与习题408

第九章 最小化问题411

9.1 最小二乘解问题及其基本理论结果411

9.2 最小范数解414

9.3 具线性等式约束的LS问题(LSE)416

9.4 加权最小化问题419

9.5 加权广义逆及其特性423

9.6 凸约束下的LS问题426

9.7 受一次不等式约束的LS问题(LSI)430

9.8 具二次约束的最小二乘解问题(LSQ)433

9.9 LSQ问题的唯一性条件与解的结构437

9.10 LSQ问题解的存在性与方法解441

9.11 问题与习题446

第十章 消元算术及其应用448

10.1 消元矩阵与Gauss消元过程448

10.2 Sylvester恒等式与Hankel矩阵452

10.3 用Gauss消元求解方程组458

10.4 矩阵的三角形分解与求逆463

10.5 Hermite矩阵的消元与应用--惯性指数468

10.6 Hermite矩阵的三角形分解475

10.7 带状矩阵的分解478

10.8 全主元素Gauss消元482

10.9 行主元素与Gauss-Jordan消元487

10.10 用Gauss消元进行相似化简491

10.11 块状矩阵消元与一些恒等式495

10.12 问题与习题498

第十一章 正交三角化过程与解LS问题501

11.1 QR、QL分解与标准正交化过程501

11.2 Givens转动与Housebolder变换504

11.3 Givens转动与Householder变换的讨论507

11.4 矩阵的正交三角化513

11.5 用Householder变换解LS问题520

11.6 求解LS问题的其它方法523

11.7 NNLS问题的求解527

11.8 LDP问题的解法532

11.9 LSQ问题的解法536

11.10 问题与习题540

第十二章 矩阵的正交相似化简与特征值计算542

12.1 矩阵的Hessenberg化与三对角化542

12.2 三对角化过程中Householder变换的累积546

12.3 三对角对称矩阵的Sturm组549

12.4 三对角对称矩阵特征值的反问题553

12.5 LR算术558

12.6 QR(QL)迭代算术563

12.7 三对角对称矩阵的QR算术及总体渐近二次收敛568

12.8 利用QR迭代计算奇值分解577

12.9 Jacobi转动迭代585

12.10 求个别特征值的迭代方法589

12.11 实对称矩阵的并行正交迭代593

12.12 广义特征值的计算598

12.13 问题与习题602

第十三章 稳定性分析与Ляпунов第二方法606

13.1 矩阵的Kronecker积606

13.2 线性矩阵方程609

13.3 A？Ln+Lm?T的谱及其应用613

13.4 Ляпунов稳定性与矩阵方程615

13.5 Hurwitz多项式621

13.6 Cauchy指数与Sturm组626

13.7 任意有理函数Cauchy指数的确定631

13.8 Hurwitz-Routh定理及其讨论641

13.9 Ляпунов方程解的高维新公式648

13.10 求解Ляпунов方程的其它方法658

13.11 系统的可镇定与极点配置662

13.12 二次型最优与Bellman方程668

13.13 Bellman方程与矩阵代数Riccati方程的解671

13.14 离散线性系统676

13.15 离散Ляпунов方程的解681

13.16 问题与习题682

第十四章 多项式矩阵与有理函数矩阵687

14.1 多项式方阵的行列式687

14.2 具互质行列式的多项式矩阵与多项式矩阵方程692

14.3 有理函数矩阵及仿分式分解700

14.4 系统矩阵与系统的等价类706

14.5 多项式矩阵互质与系统的实现理论712

14.6 G(λ)的状态空间实现(A，B，C)717

14.7 左右互质与可控可观测724

14.8 串联、并联与阶次727

14.9 系统的零极点相消、解耦零点与G(λ)的零极点731

14.10 平行Hermite矩阵的谱分解736

14.11 正实有理函数矩阵与实现理论743

14.12 问题与习题751

附录Ⅰ755

附录Ⅱ762

参考文献764