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第一章 光学系统自动设计问题的数学描述9

1 衡量光学系统好坏的标准9

1.1 象差与成象质量9

1.2 光学系统的结构参数和象差9

2 评价函数及其构成9

2.1 评价函数的概念9

2.2 评价函数的构成10

3 光学系统自动设计问题的数学描述13

3.1 约束条件13

3.2 光学系统自动设计问题的数学描述13

第二章 极值理论基础14

1 多元函数的可微性、方向导数及斜量14

1.1 引言14

1.2 多元函数的可微性14

1.3 方向导数及斜量16

2 多元函数的泰勒公式18

2.1 多元函数的高阶偏导数18

2.2 复合函数的偏导数20

2.3 泰勒公式22

3 多元函数的极值23

3.1 引言23

3.2 极值存在的必要条件23

3.3 极值存在的充分条件25

3.4 二次型正(负)定性与极值28

4 条件极值32

4.1 引言32

4.2 不定乘数法(约束极值存在的必要条件)33

4.3 条件极值存在的充分条件35

第三章 向量和矩阵的基本运算37

1 向量及其运算37

1.1 向量概念37

1.2 向量的运算37

1.3 高维空间的向量38

2 内积与直交性39

2.1 内积概念39

2.2 直交性概念40

2.3 标准直交基底40

3 线性相关性41

3.1 线性相关的概念41

3.2 向量系统性独立的充分必要条件42

3.3 线性相关的充要条件(续)44

3.4 斯米特直交化方法45

3.5 N维直交关系46

4 矩阵及其运算47

4.1 线性变换和矩阵概念47

4.2 矩阵和向量的乘法47

4.3 常数与矩阵的乘法49

4.4 矩阵的加法50

4.5 矩阵的乘法51

4.6 转置和对称矩阵53

5 M×N阶矩阵及二次型54

5.1 M×N阶矩阵54

5.2 乘法法则55

5.3 向量及矩阵的运算及二次型的表示55

5.4 乘积转置规则56

5.5 A共轭向量57

5.6 矩阵和向量的分块乘法57

6 逆矩阵58

6.1 逆矩阵的定义58

6.2 乘积的逆矩阵59

6.3 逆矩阵的1秩修正59

7 投影算子及其性质60

7.1 子空间及直交子空间60

7.2 N维空间的直交分解62

7.3 投影算子及其性质63

7.4 投影算子的表示64

7.5 补投影算子64

7.6 矩阵ATA及矩阵的秩65

第四章 矩阵的特征值、特征向量和二次型66

1 矩阵的特征值与特征向量66

1.1 特征值问题与特征多项式66

1.2 凯莱-哈密顿定理67

1.3 特征值和特征向量的性质68

2 特征值的极性及估计70

2.1 二次型的值域70

2.2 特征值的极性70

2.3 正定矩阵71

2.4 椭球面的主轴71

2.5 盖尔斯果林圆72

2.6 盖尔斯果林圆的应用72

3 一些特殊类型的矩阵75

3.1 对角矩阵75

3.2 三角矩阵76

3.3 相似矩阵77

3.4 化矩阵为对角型78

3.5 直交矩阵79

4 向量和矩阵的范数80

4.1 向量的范数80

4.2 范数的等价性82

4.3 矩阵的范数83

4.4 M×N阶矩阵的范数85

4.5 F范数86

第五章 解线代数方程组及计算逆矩阵的方法87

1 线代数方程组的解法87

1.1 消去法的基本思想87

1.2 主元素消去法88

1.3 主元素消去法(续)89

1.4 逆矩阵的求法89

2 具对称正定矩阵的线性方程组的解法89

2.1 问题的提出89

2.2 求L的方法(乔累斯基法)90

2.3 改进的乔累斯基分解91

2.4 行列式的计算92

2.5 方程组的解法92

2.6 求逆矩阵的方法93

2.7 迭代校正方法93

3 用消元法求正定矩阵的逆矩阵94

3.1 引言94

3.2 算法94

4 方程组的条件数95

4.1 引言95

4.2 方程组的条件数96

第六章 化导数为差商的方法以及常用的一维寻查方法97

1 化导数为差商的方法97

1.1 引言97

1.2 导数的精确逼近97

2 一维寻查方法102

2.1 引言102

2.2 寻查区间的确定103

2.3 直接寻查法104

2.4 插值方法104

第七章 处理约束条件的方法107

1 等式约束条件的处理方法107

1.1 引言107

1.2 直接代入法107

1.3 约束变分法107

1.4 制约函数法108

1.5 逐次复归法109

2 不等式约束的处理方法110

2.1 允许点的求法110

2.2 制约函数法110

第八章 最小二乘法112

1 最小二乘法112

1.1 引言112

1.2 最小二乘法112

1.3 化导数为差商时步长的选择113

1.4 最小二乘法的向量-矩阵表示114

2 阻尼最小二乘法114

2.1 引言114

2.2 阻尼最小二乘法115

2.3 阻尼因子的选择115

3 其它改进方法117

3.1 引言117

3.2 改进的最小二乘法117

3.3 改进的阻尼最小二乘法118

3.4 阻尼因子的另一选法118

第九章 共轭斜量法119

1 最速下降方向的最速下降法119

1.1 引言119

1.2 最速下降方向和最速下降法120

2 二阶收敛性的迭代方法120

2.1 二次函数与极小化问题之间的关系120

2.2 二阶收敛性121

3 共轭斜量法122

3.1 A共轭条件122

3.2 寻查方向的确定123

3.3 几何意义126

4 共轭斜量法对二次函数和光学自动设计中的应用126

4.1 用共轭斜量法解线性方程组126

4.2 用共轭斜量法求评价函数的极小点127

第十章 变尺度方法129

1 牛顿方法及D.F.P.条件129

1.1 引言129

1.2 牛顿方法的思想及D.F.P.条件129

2 变尺度方法130

2.1 迭代矩阵Hi的构成130

2.2 变尺度方法小结131

2.3 在光学系统自动设计中应用的情况131

3 Hi的正定性及变尺度方法的二阶收敛性132

3.1 Hi的正定性定理132

3.2 变尺度方法的二阶收敛性132

3.3 线性寻查134

第十一章 解约束极值问题的逐次复归斜量投影法135

1 算法的基本思想135

1.1 引言135

1.2 使用记号说明135

2 斜量相的算法136

2.1 普通斜量法136

2.2 共轭斜量投影法138

2.3 共轭斜量投影法的二阶收敛性140

3 非二次函数或约束为非线性的情形141

3.1 斜量相的算法141

3.2 复归相的算法141

第十二章 直接寻查方法143

1 引言143

2 共轭方向法及其改进143

2.1 共轭方向法的基本思想143

2.2 共轭方向法143

2.3 共轭方向法的改进144

2.4 寻查方向的线性独立性145

3 单纯形法146

3.1 单纯形法的基本思想146

3.2 单纯形法的步骤146

3.3 单纯形法的框图148

3.4 几点说明148

第十三章 不等式法149

1 引言149

2 不等式法的基本思想149

2.1 问题的提法和有关概念149

2.2 不等式组的线性逼近150

2.3 解法的思想150

3 解线性不等式组的迭代法150

3.1 记号和一些基本概念150

3.2 迭代序列的构成152

3.3 解非线性不等式的迭代方法152

3.4 对非线性不等式及变量的处理153

第十四章 标准直交化方法154

1 引言154

2 标准直交化方法155

3 算法156

4 框图159

第十五章 适应法160

1 方法基础160

1.1 数学公式160

1.2 三种循环161

1.3 二个适应控制内容161

1.4 举例说明162

2 算法综述164

2.1 框图164

2.2 具体算法165

2.3 几点说明167

3 特点对比167

3.1 与阻尼最小二乘法的比较167

3.2 适应法的优缺点167