《统计推断与微分几何》

第一章 参数分布族的几何与指数族1

1.1 参数分布族的几何1

(一)切空间及其统计表示3

(二)Riemann度量和Fisher信息6

(三)统计流形上的α-联络9

(四)统计联络在充分统计量的变换下的不变性15

1.2 指数分布族的几何15

(一)自然参数坐标中的几何量18

(二)期望参数坐标中的几何量20

(三)对偶性22

(四)指数族的最大似然估计量及其几何意义26

第二章 曲指数族的几何及其统计分析29

2.1 曲指数族子流形的统计曲率32

(一)子流形的基本几何量32

(二)子流形的Amari曲率38

(三)单参数曲指数族与Efron曲率44

(四)Bates和Watts曲率47

2.2 渐近有效估计量的几何51

(一)估计量的相伴辅助系53

(二)估计量的相伴坐标系59

(三)估计量的一阶有效性63

(四）α－估计量66

(五)一个极限定理70

2.3 信息损失和渐近充分性73

(一)信息与信息损失74

(二)二阶信息损失77

第三章 Edgeworth展开式的几何理论及其应用82

3.1 多元Hermite多项式和Gram-Charlier展开式82

3.2 估计量分布的一阶Edgeworth展开式及其应用87

(一)估计量分布的一阶展开88

(二)一阶有效估计量的渐近分布和渐近辅助统计量95

(三)估计量的条件分布99

(四)带有多余参数时估计量的条件分布106

3.3 估计量分布的二阶Edgeworth展开式及三阶有效性113

第四章 关于α-联络的几何120

4.1 α-表示与几何结构的不变性120

4.2 α-平直流形和对偶性126

(一)对偶联络126

(二)平直流形上的对偶关系129

4.3 α-散度和α-投影133

(一)α-散度133

(二)α-投影136

附录A 有关的微分几何概念141

附录B 一元Edgeworth展开式163

参考文献168