《微积分学讲义 专册》

第一讲实数域1

1 实数域的构造1

2 实数域连续公理的等价命题10

第二讲极限的一般定义17

1 引言17

2 定向集与定向函数19

3 定向函数的极限22

4 定向函数的极限性质27

5 无穷极限35

6 网格与滤基38

第三讲度量空间44

1 定义与例子44

2 开集与闭集47

3 连续映射与同胚53

4 子集与子空间55

5 连通性57

6 收敛与完备性59

7 度量空间的紧性64

8 紧空间上的连续映射68

9 函数列的一致收敛性72

10 Stone-Weierstrass 定理75

11 连续函数的延拓78

12 Brouwer 不动点定理81

第四讲重积分换元法的证明85

1 正则变换的性质85

2 重积分换元法的证法Ⅰ88

3 重积分换元法的证法Ⅱ100

4 二重积分的极坐标换元法与三重积分的球坐标换元法108

1 同胚映射与正则映射112

第五讲Rn 中的 k 维流形112

2 k 维流形123

第六讲微分形式与 Stokes 公式135

1 微分形式135

1.1 微分形式的定义135

1.2 k-形式的初等运算140

1.3 外微分运算144

1.4 变量替换148

2 链上的积分与 Stokes 公式154

2.1 仿射单形与仿射链154

2.2 链上的积分与 Stokes 公式159