《数学基础引论》

第一章√2的发现和毕达哥拉斯学派的危机1

1.历史的回顾1

2.√2的发现和数学基础的第一次危机3

3.定理2.1的推广和定理1.1通解的研究5

4.从毕达哥拉斯数的研究到费尔玛的猜测11

第二章欧几里得的局限和几何基础研究的意义19

1.历史的概述和《几何原本》的产生19

2.关于第 V 公设的争论23

3.非欧几里得几何的研究和“唯一可能”的几何的否定27

4.几何基础的研究和公理化方法的发展30

1.无穷小的分析和第二次数学基础的危机38

第三章神秘的微分学和分析算术化38

2.在数学界以外产生的反响——《分析学者》41

3.三十年代的批判运动和分析算术化44

4.实数概念的定义和皮亚诺公理系统47

5.自然数序列的良序性和加、乘的基本性质50

第四章布尔代数和现代逻辑的发展57

1.布尔代数的建立和发展57

2.布尔系统的形式演算及其解释64

3.完全性、一致性和独立性71

4.不是哲学的古董，而是一颗被冷落的明珠74

第五章集合和关系79

1.历史的概述79

2.集合和两个原则82

3.包含关系：子集合与真子集合84

4.集合的运算：并、交、求补85

5.有序对、卡氏积、关系和函数88

第六章无穷集合和数学基础的第三次危机95

1.基数95

2.可数无穷集合98

3.不可数集合103

4.基数算术103

5.有序集合108

6.良序集合和序数111

7.序数集合114

8.序数算术115

9.悖论117

10.第三次基础危机123

第七章公理化集合论的发展及其争论127

1.关于集合概念的康托定义和策梅罗公理系统127

2.消除罗素悖论的初步方案和断定的“明确性”问题133

3.选择公理和措恩引理137

4.连续统假设141

5.几点评述147

第八章命题逻辑151

1.命题的基本定义151

2.命题的逻辑函项153

3.命题演算的基本变换154

4.恒真性、可满足性和恒假156

5.范式：合取范式和析取范式158

6.优范式和范式的作用160

7.系统的可推演性定义及定理162

8.一致性、完全性和独立性166

第九章谓词逻辑177

1.基本概念和定义177

2.合式公式和基本规则180

3.一阶谓词演算的公理和形式证明的定义184

4.普遍有效性和可满足性187

5.一阶理论φ的定义和解释190

6.一致性、完全性和独立性195

第十章数论205

1.数论形式系统的构造205

2.基本运算与递归定义210

3.原始递归函数213

4.递归谓词218

5.λ-转换演算222

第十一章哥德尔不完全性定理229

1.元数学方法的定义229

2.哥德尔配数法231

3.谓词演算的不可判定性233

4.哥德尔定理240

第十二章逻辑主义246

1.什么是逻辑主义246

2.罗素的数学观247

3.逻辑斯谛248

4.逻辑类型论258

5.悖论的消除264

6.几点评述267

第十三章直觉主义270

1.什么是直觉主义270

2.数学的可构造性272

3.数学的无穷与逻辑的排中律274

4.直觉主义的逻辑279

第十四章希尔伯特方案和形式主义284

1.希尔伯特方案284

2.希尔伯特的ε-算子287

3.算术一致性的证明289

4.形式主义300

1.数学中的柏拉图主义303

第十五章柏拉图主义和拟经验主义303

2.数学中的拟经验主义305

3.局限性308

第十六章结论310

1.什么是数学310

2.数学的性质是什么313

3.如何判别数学理论的真理性314

4.关于无穷概念的哲学解释及数学概念的辩证法问题318

附录320

人名索引320

术语索引323

符号索引331