《数理逻辑》

绪论1

什么是数理逻辑？1

集合与函数2

可数集8

序，Zorn引理10

良序原理，每个集合可被良序10

归纳集，递归定义与递归证法11

变元，函数符号的书写位置20

元语言与对象语言21

第一章　命题逻辑（上）——非形式描述23

1.1　命题与命题联结词23

1.2　基本联结词及其真值表与真值函数26

1.3　命题形式及其真值表与真值函数31

1.4　代入与替换38

1.5　限制命题形式，范式39

1.6　推理的有效性44

1.7　联结词的够用集47

第二章　命题逻辑（下）——形式描述54

2.1　重言式公理系统54

2.2　形式公理系统P1（一）——语言和语义描述基本符号57

2.3　形式公理系统P1（二）——语法描述67

2.4 系统P1的发展——定理与导出规则的推导70

2.5　命题逻辑的自然推理系统93

2.6　命题逻辑的Gentzen系统103

2.7　形式系统P2128

2.8　形式系统P3131

2.9　形式系统P4与P5132

2.10　命题逻辑的系统特征134

第三章　一阶逻辑（上）——非形式描述145

3.1　个体，谓词与量词145

3.2　命题函数，约束变元与自由变元149

3.3　个体函词，项153

3.4　一阶语言155

3.5　项的代入164

3.6　解释（或结构），赋值170

3.7　可满足性，真性176

3.8　Hintikka公式集188

第四章　一阶逻辑（下）——形式描述191

4.1　一阶形式系统191

4.2　一阶谓词演算（或一阶演绎系统）K192

4.3　系统K中推理定理197

4.4 系统K的发展——定理与导出规则的推导199

4.5　等值定理205

4.6　存在引入特化假设规则207

4.7　一阶谓词演算的自然推理系统K211

4.8　一阶谓词演算的Gentzen系统LK215

4.9　一阶谓词演算的另一种描述——系统K1220

4.10 公式集的K1相容性及系统K1的一般完备性226

4.11 形式系统的扩张，系统K的完备性232

4.12　模型241

4.13　前束范式247

4.14　πn范式与∑n范式250

4.15　Skolem范式250

4.16　系统K的各公理的独立性257

第五章　带等词的一阶系统260

5.1　带等词一阶系统的刻划260

5.2　等词的替换定理264

5.3　带等词一阶系统的正规模型266

5.4　带等词一阶系统的完备性269

5.5　关于等词的其它性质272

5.6 函词符号与个体常元的消去276

5.7 函词符号与个体常元的引入280

5.8　使用定义的扩张282

第六章　一阶初等算术N288

6.1 一阶初等算术N的刻划288

6.2　初等算术N中的一些性质289

6.3 数论谓词的可表达性与数论函数的可表示性294

6.4　递归函数300

6.5 递归谓词311

6.6　配对函数组313

6.7　初等数论中的一些结果，孙子定理315

6.8　G？del的β函数，序列数，序列算子319

6.9 初等数论中的原始递归函数与原始递归谓词321

6.10　串值递归式323

6.11 递归函数在N中的可表示性326

6.12　Church论点331

第七章 一阶形式系统的算术化，N的不完全性333

7.1　G？del编码333

7.2　相应于形式系统各关系的数论谓词与数论函数335

7.3 与一阶初等算术N有关的数论谓词与数论函数342

7.4 一阶初等算术N的不完全性——G？del不完全性定理343

7.5 N的另一个不可判定句——G？del-Rosser不完全性定理347

7.6 递归集与递归可枚举集350

7.7 一阶系统的可判定性354

第八章　一阶Peano算术P360

8.1 一阶Peano算术P的划划360

8.2　系统P的发展372

8.3 系统P的用定义扩张381

8.4　G？del第二不完全性定理395

参考文献397