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第一章基本定义1

1 定义和例1

2 光滑函数与光滑映射6

3 子流形和隐函数定理10

4 技术性的问题16

参考文献23

第二章切丛25

1 流形的切丛25

2 内在的描述30

3 切空间的几何意义34

4 球面的切丛36

参考文献39

第三章矢量丛40

1 定义和例40

2 矢量丛上的运算49

3 丛的正合序列，分裂和一的分割56

4 法丛64

5 仿紧性与一的分割68

1 方向导数和矢量场72

第四章流形上的微分学72

2 矢量场的几何，积分曲线76

3 括弧运算和Frobenius定理81

4 矢量场的拓扑学92

5 附录96

参考文献100

第五章Lie群101

1 Lie群的Lie代数101

2 局部同构，Sophus Lie的基本定理110

3 指数映射，较深的结果117

4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用124

5 解析结构和存在性定理136

6 单连通Lie群140

参考文献142

第六章微分形式143

1 引言143

2 函数的微分与一次微分形式145

3 外代数的概述152

4 高次微分形式158

5 其它问题171

参考文献176

第七章积分177

1 引言177

2 单形177

3 矢量空间中的积分187

4 流形上的积分199

5 应用206

参考文献216

第八章de Rham定理217

1 例和概述217

2 奇异同调和de Rham定理225

3 单纯形同调230

4 de Rham定理的证明237

5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲243

参考文献252

第九章同调理论253

1 一般的代数知识253

2 正合性265

3 同伦，单形逼近269

4 切断和Mayer-Vietoris序列278

5 应用290

6 CW复形和进一步的计算296

参考文献307

第十章上同调308

1 引言308

2 Pontrjagin对偶性310

3 乘积空间和Künneth公式314

4 “上”积(Cup Product)与“卡”(Cap Product)321

5 Thom同构定理330

6 Hopf不变量337

第十一章Poincaré对偶性344

1 引言344

2 基本类346

3 Poincaré对偶定理355

4 Thom-Pontrjagin构造364

5 相交理论373