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编者的话1

第0章 集合与映射1

第一章 点集拓扑5

1.1 拓扑空间6

1.1.1 拓扑 开集 闭集6

1.1.2 邻域 闭包 内部 边界11

1.1.3 子空间14

1.1.4 基 子基 局部基16

1.2 连续映射18

1.2.1 连续映射19

1.2.2 同胚 拓扑性质21

1.2.3 积空间27

1.2.4 商空间29

1.2.5 收敛性35

1.3 可数性 分离性37

1.3.1 可数性37

1.3.2 分离性38

1.3.3 Urysohu引理和Tietze扩张定理42

1.4 紧性46

1.4.1 紧空间47

1.4.2 可数紧空间 序列紧空间 聚点紧空间53

1.4.3 局部紧性 单点紧化57

1.5 连通性60

1.5.1 连通空间和局部连通空间60

1.5.2 道路连通空间和局部道路连通空间65

1.6.1 度量化定理67

1.6 点集拓扑的进一步概念67

1.6.2 单位分解71

1.6.3 流形72

1.6.4 仿紧空间73

1.6.5 函数空间74

第二章 基本群和覆盖空间89

2.1 同伦90

2.1.1 映射的同伦90

2.1.2 同伦等价93

2.2 基本群98

2.2.1 道路类及其乘法98

2.2.2 基本群及其性质103

2.3.1 圆周的基本群108

2.3 基本群的计算108

2.3.2 计算基本群的方法114

2.4 覆盖空间的概念及其基本性质117

2.4.1 覆盖空间的定义与例子117

2.4.2 覆盖空间的基本性质121

2.5 映射提升定理127

2.6 覆盖空间的分类定理130

2.6.1 覆盖空间的示性类131

2.6.2 分类定理132

2.6.3 覆盖空间的存在性135

2.7 万有覆盖空间139

第三章 单纯同调论155

3.1 单纯复形与多面体155

3.1.1 单纯复形156

3.1.2 多面体与可剖空间158

3.1.3 复形的定向161

3.1.4 抽象单纯复形162

3.2 单纯复形的同调群164

3.2.1 链群与边缘同态165

3.2.2 同调群的定义168

3.2.3 复形的连通性与零维同调群的结构170

3.2.4 计算同调群的进一步例子171

3.3 Euler-Poincare公式176

3.3.1 整同调群的结构176

3.3.2 Euler-Poincare公式177

3.3.3 以任意Abel群作系数群的同调群180

3.4 单纯映射与单纯逼近182

3.4.1 单纯映射及其诱导同态184

3.4.2 单纯逼近188

3.5 单纯逼近定理和连续映射的诱导同态192

3.5.1 重心重分和单纯逼近定理193

3.5.2 重分链映射与连续映射的诱导同态196

3.5.3 同调群的伦型不变性198

3.6 伪流形199

3.7 球面上的映射与不动点定理203

3.7.1 拓扑度204

3.7.2 球面的向量场208

3.7.3 Borsuk-Ulam定理210

3.7.4 Brouwer不动点定理214

3.7.5 Lefschetz不动点定理215

3.8 局部同调群与维数不变性220

3.8.1 局部同调群220

3.8.2 维数不变性224

3.9 棱道群.π1(︱K︱)与H1(K)的关系225

第四章 代数拓扑学中若干其他论题241

4.1 相对同调群与同调序列241

4.1.1 相对同调群241

4.1.2 切除定理244

4.1.3 同调序列245

4.2 上同调群与上同调环248

4.2.1 上同调群249

4.2.2 上同调环251

4.3 奇异同调论254

4.3.1 奇异同调群255

4.3.2 Mayer-Vietoris序列259

4.4.1 定义和简单性质262

4.4 同伦群262

4.4.2 同伦群的交替描述及其进一步的性质263

4.4.3 同伦论中几个著名的结果266

4.5 范畴与函子 同调论的公理270

4.5.1 范畴与函子270

4.5.2 同调论的公理273

附录A Abel群与非Abel群275

附录B Van Kampen定理288

附录C Jordan曲线定理295

附录D 紧曲面的拓扑分类303

附录E 同调群的拓扑不变性316

符号一览表324

参考书目327

索引329