《拓扑学导论》

序言1

本书采用记号1

第一章 拓扑学的原始概念3

1 什么是拓扑学？4

2 空间及函数概念的推广10

1.度量空间10

2.收敛序列及连续映射12

3 从度量空间到拓扑空间14

1.“粘合”的方法14

2.拓扑空间的概念17

3.二维曲面的粘合19

4 Riemann面的概念26

5 介绍一点扭结理论34

进一步的读物36

第二章 一般拓扑学41

1 拓扑空间及连续映射42

1.拓扑空间的定义42

2.邻域45

3.连续映射 同胚46

4.拓扑空间的子空间48

2 度量空间上的拓扑和连续映射.空间Rn,Sn-1和Dn49

1.度量空间上的拓扑49

2.空间Rn51

3.球Dm同胚于Rm55

3 商空间及商拓扑57

1.商拓扑的定义57

2.商空间的例子58

3.商空间的映射60

4 曲面的分类63

1.曲面及其三角剖分63

2.曲面的展开图65

3.展开图的分类67

4.曲面的Euler示性数及拓扑分类72

1.轨道空间的定义75

5 轨道空间：射影空间和透镜空间75

2.射影空间RPn,CPn76

3.透镜空间77

6 拓扑空间中集合的运算78

1.集合的闭包78

2.集合的内部80

3.集合的边界81

7 度量空间中集合的运算、球和球面、完备性82

1.度量空间中集合的运算82

2.Rn中的球和球面84

3.任意度量空间中的球和球面85

4.度量空间的完备性86

1.连续映射的等价定义87

8 连续映射的性质87

2.连续映射的三个问题89

9 拓扑空间的乘积92

1.空间直积的拓扑92

2.积空间中的连续映射95

10 拓扑空间的连通性97

1.拓扑空间的连通性概念97

2.连通空间的性质99

3.连通分支102

1.可数性公理103

11 可数性公理与分离性公理103

2.空间的分离性106

12 正规空间与函数分离性108

1.正规空间的等价定义108

2.函数分离性.数值函数扩张的Urysohn定理109

13 紧致空间及其映射113

1.紧致空间的概念113

2.紧致空间的映射119

3.紧致空间的积121

4.度量空间的紧致性122

1.紧扩张124

14 拓扑空间的紧扩张、度量化124

2.拓扑空间的可度量性127

进一步的读物128

第三章 同伦论133

1 映射空间、同伦、保核收缩、形变134

1.连续映射空间134

2.同伦136

3.映射的扩张138

4.保核收缩140

5.映射柱面141

1.范畴143

2 范畴，函子及拓扑问题的代数化143

2.函子145

3 同伦群函子147

1.空间的同伦群147

2.基本群154

4 一些空间的基本群与同伦群的计算160

1.曲面上的逐段线性道路及其组合同伦160

2.道路与同伦的组合逼近163

3.圆的基本群166

4.曲面的基本群168

5.曲面Euler示性数的拓扑不变性171

6.高阶同伦群的计算172

8.映射度175

7.一些应用175

进一步的读物178

第四章 流形与纤维丛181

1 n维空间微分学的基本概念182

1.光滑映射182

2.映射的秩183

3.隐函数定理184

4.《曲线》坐标系185

5.平直化定理186

6.关于光滑函数表达式的一个引理190

1.RN中光滑子流形的概念191

2 欧氏空间中的光滑子流形191

2.子流形的例子193

3 光滑流形196

1.光滑流形的概念196

2.射影空间201

3.诱导结构204

4.矩阵流形205

5.Grassmann流形206

6.积流形208

7.Riemann曲面208

8.形态空间209

9.带边流形210

4 流形上的光滑函数与(光滑)单位分解211

1.流形上的光滑函数概念211

10.光滑结构的存在性211

2.单位分解213

3.流形上Cr-函数的代数217

5 流形的映射220

1.光滑映射的概念220

2.光滑映射的正则点与非正则点、浸入、浸没、嵌入、子流形222

3.Sard定理.模2的映射度概念228

1.切空间的思想230

2.流形的切空间概念230

6 切从与切映射230

3.切丛235

4.Riemann度量238

5.切映射239

6.流形的定向242

7 作为微分算子的切向量 函数的微分和余切丛244

1.向量的新定义244

2.切丛246

3.切映射250

4.函数的微分和余切丛251

8 光滑流形上的向量场254

1.光滑道路的切向量255

2.物理系统的动力学群与其无穷小生成元256

3.光滑向量场257

4.向量场的Lie代数259

5.余向量场260

9 纤维丛和覆迭261

1.预备性的例261

2.纤维丛的定义262

3.向量丛265

4.覆迭267

5.分枝覆迭286

10 流形上的光滑函数.流形的胞腔结构(例)290

1.环面上函数的例290

2.胞腔复形292

11 非退化临界点及其指标295

1.非退化临界点295

2.Morse引理296

3.梯度场299

12 用临界值描述流形的伦型300

1.光滑函数Lebesgue集的结构300

2.Lebesgue集的同伦等价性条件301

3.经过临界值时伦型的变化301

4.流形的伦型305

进一步的读物307

第五章 同调理论311

1 引言312

2 链复形的同调群314

3 单纯复形的同调群317

1.单纯复形和多面体317

2.单纯复形和多面体的同调群319

3.具体多面体的同调群计算321

4.重心重分 单纯映射328

4 奇同调理论331

1.奇同调群331

2.奇同调群的性质333

3.同调与同伦341

5 同调理论公理342

1.球面的同调群346

6 球面的同调、映射度346

2.映射度351

7 胞腔复形的同调群355

8 Euler示性数与Lefschetz数359

1.单形映射的Lefschetz数359

2.连续映射的Lefschetz数363

3.流形的Euler示性数与向量场的奇点365

进一步的读物367

参考文献370

名词索引376

人名索引394