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第一章基本定义1

1．定义和例1

2．光滑函数与光滑映射6

3．子流形和隐函数定理9

4．技术性的问题14

参考文献20

第二章切丛21

1．流形的切丛21

2．内在的描述25

3．切空间的几何意义28

4．球面的切丛30

参考文献32

第三章矢量丛33

1．定义和例33

2．矢量丛上的运算40

3．丛的正合序列，分裂和一的分割46

4．法丛52

5．仿紧性与一的分割56

第四章流形上的微分学59

1．方向导数和矢量场59

2．矢量场的几何，积分曲线62

3．括弧运算和Frobenius定理66

4．矢量场的拓扑学75

5．附录78

参考文献82

1．Lie群的Lie代数83

第五章Lie群83

2．局部同构，Sophus Lie的基本定理90

3．指数映射，较深的结果96

4．Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用101

5．解析结构和存在性定理111

6．单连通Lie群115

参考文献117

第六章微分形式118

1．引言118

2．函数的微分与一次微分形式120

3．外代数的概述125

4．高次微分形式130

5．其它问题141

参考文献146

第七章积分147

1．引言147

2．单形147

3．矢量空间中的积分156

4．流形上的积分166

5．应用172

参考文献181

第八章de Rham定理182

1．例和概述182

2．奇异同调和de Rham定理189

3．单纯形同调193

4．de Rham定理的证明198

5．复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲203

参考文献210

1．一般的代数知识211

第九章同调理论211

2．正合性221

3．同伦，单纯逼近225

4．切除和Mayer-Vietoris序列232

5．应用245

6．CW复形和进一步的计算250

参考文献259

第十章上同调260

1．引言260

2．Pontrjagin对偶性262

3．乘积空间和Künneth公式265

4．“上”积（Cup Product）与“卡”积（Cap Product）271

5．Thom同构定理278

6．Hopf不变量284

第十一章Poincaré对偶性290

1．引言290

2．基本类292

3．Poincaré对偶定理299

4．Thom-Pontrjagin构造307

5．相交理论315

第十二章纤维丛通论320

1．引言320

2．具有构造群的纤维丛323

3．主丛329

4．构造群的改变338

5．万有丛和分类空间342

6．覆盖同伦性质345

7．杂记350

参考文献353

第十三章示性类355

1．圆群G=S1和对合G=Z2的示性类356

2．酉群（U（n）的示性类（陈类）与正交群O（n）的示性类（Stiefel-Whitney类）362

3．计算374

4．其它的讲法385

5．Pontrjagin类390

6．K－群和陈特征标394

参考文献399

第十四章表示论通论400

1．引言400

2．一般概念403

3．紧群和不变积分406

4．特征标与权409

5．极大环面与E．Cartan定理417

6．实表示420

7．根与Weyl群423

8．E．Cartan定理429

9．其它评述432

参考文献435

第十五章示性类续论436

1．Borel-Hirzebruch格式436

2．齐性空间上的计算442

3．H*（BO（n）；Q）和H*（BSO（n）；Q）的计算449

4．Pontrjagin数和配边不变性455

参考文献461

1．流形的指标462

第十六章Hirzebruch指标定理462

2．配边环的构造471

3．乘法序列477

4．Milnor的怪球482

参考文献489

第十七章Laplace方程和Hodge理论490

1．偏微分方程（PDE）概况490

2．调和函数499

3．Laplace-Beltrami算子△506

4．Hirzebruch指标定理的另一表述514

5．Hodge定理的证明，总的思路517

6．Hodge定理的证明，一个特例525

7．Hodge定理的证明，一般情况532

8．澄清，微分几何概述534

9．复情况542

第十八章Riemann-Roch定理546

1．亚纯函数546

2．？ech构造和层554

3．层的上同调561

4．Riemann-Roch定理577

5．Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广588

6．其它的评述597

参考文献602

第十九章Atiyah-Singer指标定理603

1．矢量丛上的一般微分算子603

2．椭圆算子的解析指标，Hodge理论615

3．K理论概述622

4．Todd亏数与拓扑指标635

5．Atiyah-Singer指标定理646

参考文献649

第二十章曲率和相关问题650

1．曲率650

2．曲面的Gauss-Bonnet定理660

3．曲率和示性类676

4．主丛上的联络689

5．Yang-Mills泛函712

参考文献721