《实变函数入门 高师交流讲义》

编者的话1

第一章 集合论初步1

1 逻辑与“反话”1

2 集合的概念及集合之间的关系5

3 集合的运算9

4 集合的对等18

5 可数集21

6 不可数集24

什么是次序28

复数为什么没有大小31

序数与基数有何关系34

习题37

第二章 点集41

1 聚点与波尔查诺——维尔斯特拉斯定理41

2 闭集与波雷尔有限覆盖定理43

3 内点与开集47

4 开区间与开集50

5 点集间的距离53

什么是曲线，曲线会不会填满一个正方形56

习题59

第三章 勒贝格测度62

1 勒贝格外测度64

2 勒贝格可测集68

3 可测集类76

4 开集与可测集79

什么是长度，什么是面积86

习题91

第四章 可测函数93

1 可测函数的概念及其性质93

2 简单函数与可测函数99

3 一致收敛与几乎处处收敛103

4 连续函数与可测函数109

什么是函数118

连续函数的三种定义119

习题120

1 非负简单函数的积分124

第五章 勒贝格积分124

2 非负可测函数的积分130

3 一般可测函数的积分132

4 积分号下取极限139

5 黎曼积分与勒贝格积分146

勒贝格积分在数学分析中的一些应用154

牛顿—莱布尼兹公式158

习题161

附录A 关于非负可测函数积分定义的唯一确定性的证明165

附录B 关于依测度收敛、几乎处处收敛以及几乎一致收敛的相互关系168

附录C 集合论的悖论173