《复变函数论讲义》

第一章 复变函数与解析函数1

1 复数1

1.复数域1

2.共轭复数与复数的模2

3.三角不等式5

4.柯西(Cauchy)不等式6

习题1-17

2 复数的几何表示9

习题1-218

3 复变函数与平面点集19

1.复变函数19

2.平面点集23

习题1-3(A)28

1.函数的极限与连续性29

4 解析函数与Cauchy-Riemann方程29

习题1-3(B)29

2.函数的导数与解析性31

3.函数解析的条件：Cauchy-Riemann方程34

习题1-439

5 几个初等解析函数40

1.指数函数40

2.三角函数与双面函数41

3.对数函数43

4.一般幂函数与一般指数函数及反三角函数45

习题1-547

第二章 柯西(Cauchy)积分定理49

1 复变函数的积分49

习题2-154

1.Cauchy积分定理55

2 Cauchy积分定理与积分公式55

2.Cauchy积分公式62

3.闭曲线围绕一点的指标66

4.高阶导数68

5.Liouville定理与Morera定理73

习题2-2(A)75

习题2-2(B)77

3 Cauchy积分定理的证明78

4 最大模定理和Schwarz引理83

习题2-487

第三章 解析函数的级数展开89

1 函数项级数的收敛性89

1.复数项级数的收敛与发散89

2.函数项级数的一致收敛90

3.一致收敛级数的分析性质93

习题3-198

2 幂级数与收敛半径99

习题3-2105

3 解析函数的Taylor展开106

习题3-3112

4 解析函数的零点114

习题3-4115

5 Laurent级数与孤立奇点116

1.Laurent级数116

2.孤立奇点124

3.亚纯函数128

习题3-5129

1 留数及其计算法131

第四章 留数131

习题4-1137

2 实积分计算中的留数应用138

1.三角积分139

2.有理函数的积分？f(x)dx141

3.Fourier积分变换？f(x)e？dx143

4.实轴上有单极点的积分？f(x)dx与？f(x)e？dx的主值146

5.Fresnel积分149

6.积分？dx152

习题4-2154

3 辐角原理与Rouché定理155

习题4-3162

第五章 共形映照163

1 一般概念163

习题5-1170

2 分式线性映照171

1.分式线性映照把圆映为圆173

2.分式线性映照把对称点映为对称点174

3.分式映照的唯一性180

习题5-2182

3 几个常用的共形映照183

1.指数函数及对数函数实现的映照183

2.幂函数实现的映照185

3.茹可夫斯基函数w=?(z+?)的映照性质191

习题5-3197

4 Riemann映照定理与边界对应198

习题5-4200

5 Schwarz-Christoffel变换200

习题5-5206

1 解析延拓的概念207

第六章 解析延拓207

2 解析延拓的基本方法209

1.幂级数延拓209

2.Schwarz对称原理210

习题6-2215

3 黎曼面(Riemann-surface)216

习题6-3220

第七章 调和函数221

1 调和函数的一般性质221

1.调和函数与解析函数221

2.平均值定理与极大值定理224

3.Poisson公式225

2 平面区域上的Dirichlet边值问题228

习题7-1228

习题7-2233

第八章 拉普拉斯(Laplace)变换234

1 Laplace变换及其性质234

1.基本概念234

2.某些基本的Laplace变换235

3.Laplace变换的基本性质237

习题8-1242

2 Laplace逆变换及应用举例243

1.反演公式243

2.Laplace变换的应用举例247

习题8-2250

附录Ⅰ 外国人名译名对照表251

附录Ⅱ 习题答案252