《复变函数专题选讲 1》

第一章 Cauchy定理1

1 同伦形式的Cauchy定理1

1.1 解析函数沿连续曲线的积分1

1.2 同伦3

1.3 同伦形式的Cauchy定理4

1.4 封闭曲线的指标7

2 同调形式的Cauchy定理9

2.1 链与闭链9

2.2 同调形式的Cauchy定理11

3 局部Cauchy定理的推广14

3.1 连续函数沿可求长曲线的积分14

3.2 局部Cauchy定理的一种推广18

1.1 Lindel?f定理23

1 Lindel?f-Phragmén定理23

第二章 最大模原理23

1.2 Phragmén定理25

2 三圆定理28

2.1 凸函数28

2.2 三圆定理与三直线定理30

3 Schwarz引理及其应用32

3.1 Schwarz引理32

3.2 单位圆盘到自身的共形双射35

3.3 用解析函数的实部估计函数的模36

第三章 整函数与亚纯函数39

1 无穷乘积 整函数因子分解定理39

1.1 无穷乘积39

1.2 无穷乘积收敛的判别法40

1.3 解析函数项无穷乘积41

1.4 整函数的因子分解定理42

2 Picard定理47

2.1 Bloch定理47

2.2 Landau定理和Picard第一定理51

2.3 Schottky定理和Picard第二定理53

3 Runge定理 亚纯函数部分分式分解定理58

3.1 两个预备定理58

3.2 Runge定理61

3.3 亚纯函数的部分分式分解定理67

第四章 共形映射70

1 解析函数正规族70

1.1 概念及性质70

1.2 正规定则73

1.3 极限函数的性质76

2 Riemann映射定理77

2.1 一个引理77

2.2 Riemann定理78

2.3 映射函数的边界性质80

3 多连通区域的映射定理86

3.1 单叶函数类S87

3.2 多连通区域的共形映射91

第五章 解析开拓及Riemann曲面初步97

1 解析开拓98

1.1 Schwarz对称原理98

1.2 幂级数的解析开拓98

2 单值性定理101

3.1 二维流形106

3.Riemann曲面的概念106

3.2 Riemann曲面的定义108

3.3 Riemann曲面的例110

3.4 曲面的基本群111

3.5 覆盖曲面115

3.6 覆盖变换与覆盖变换群118

第六章 调和函数与Dirichlet问题122

1 调和函数及次调和函数122

1.1 调和函数及其序列122

1.2 次调和函数125

2 Dirichlet问题与调和测度127

2.1 Dirichlet问题127

2.2 Green函数133

2.3 调和测度137

第七章 Γ函数和B函数143

1 Γ函数143

1.1 Γ(z)的积分定义143

1.2 Γ(z)的无穷乘积表示145

1.3 Γ(z)的线积分表示148

1.4 Stirling公式151

2 函数B(z，ζ)157

2.1 复变量B函数的定义157

2.2 B函数和Г函数的关系158

第八章 椭圆函数160

1 定义及一般性质160

1.1 椭圆函数的定义160

1.2 椭圆函数的性质162

1.3 有关二重级数的引理164

2 一些重要的函数166

2.1 函数？(z)166

2.2 函数ζ(z)167

2.3 函数σ(z)170

3 椭圆函数所满足的方程173

3.1 ？(z)所满足的微分方程173

3.2 椭圆函数间的有理关系176

4 一些重要的函数(续)178

4.1 函数σf(z)178

4.3 Jacobi椭圆函数181

4.3 准椭圆函数185

1.1 Cauchy型积分概念189

1 Cauchy型积分和Cauchy主值积分189

第九章 Cauchy型积分189

1.2 Cauchy主值积分190

2 Plemelj公式和Πрнвалов定理194

2.1 Plemelj公式194

2.2 分区全纯函数198

2.3 Cauchy型积分的边值和Cauchy主值积分的导数199

2.4 Πрнвалов定理200

3 高阶奇异积分和推广的留数定理204

3.1 留数定理的直接推广204

3.2 高阶奇异积分207

3.3 推广的留数定理208

参考文献212

索引213