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第一章自然数1

绪言1

1.整数演算2

1.算术定律2

2.整数的表示方法4

3.十进制外其他诸进制的计算7

2.数系的无限。数学归纳法10

1.数学归纳原则10

2.算术级数12

3.几何级数13

4.前n个平方之和14

5.一个重要的不等式16

6.二项式定理17

7.对数学归纳法的进一步讨论19

第一章增补 数论23

绪言23

1.素数23

1.基本事实23

2.素数的分配27

a.产生素数的公式28

b.在算术级数中的素数29

c.素数定理30

d.两个尚未解决的素数问题32

2.同余数34

1.一般概念34

2.斐马定理40

3.二次余数41

3.毕达哥拉数与斐马的最后定理43

4.欧几里得算法46

1.一般理论46

2.对算术的基本定理的应用50

3.欧拉的？函元。再论斐马定理52

4.连分数。狄芬都方程式53

第二章数学的数系57

绪言57

1.有理数57

1.作为量度工具的有理数57

2.有理数在算术上的内在需要。推广原则59

3.有理数在几何上的解释61

2.无公度线段，无理数，及极限概念63

1.绪言63

2.小数。无限小数66

3.极限。无限几何级数68

4.有理数及循环小数72

5.运用相套区间对无理数作具有一般性的定义73

6.可以用来定义无理数的其他方法。戴德金切割76

3.略论解析几何78

1.基本原则78

2.直线与曲线的方程式80

4.无限的数学解析83

1.基本概念83

2.有理数的可数性与连续集的不可数性85

3.坎多的“基数”90

4.间接证法92

5.无限的奇论93

6.数学的基础94

5.复数95

1.复数的起源95

2.复数的几何解释98

3.棣美弗公式及1的诸根104

4.代数的基本定理107

6.代数数与超越数110

1.定义及其存在110

2.李奥维定理及超越数的构成111

第二章增补 集合代数117

1.一般理论117

2.对数理逻辑的应用121

3.对机率理论的应用123

第三章几何作图。数场代数127

绪言127

第一部份不可能性的证明及代数130

1.基本几何作图130

1.场的作图与开平方130

2.正多边形132

3.阿坡罗尼阿斯问题134

2.可以作出来的数及数场136

1.一般理论136

2.一切可以作出来的数都是代数数144

3.三个希腊问题的不可解性144

1.倍立方145

2.一个关于三次方程式的定理146

3.三等分角148

4.正七边形149

5.略论方圆问题150

第二部份作图的各种方法151

4.几何上的变换。反演变换151

1.概说151

2.反演变换的性质153

3.反点的几何作图155

4.如何仅用圆规平分一线段及求一圆的圆心156

5.运用其他工具的作图法。仅用圆规的马奢罗尼作图法157

1.倍立方的古典作图法157

2.仅运用圆规的限制158

3.以机械仪器作图。机械曲线。旋轮线163

4.连杆机构。坡舍勒及哈特的反演仪166

6.再谈反演变换及其应用169

1.角的不变性。圆系169

2.阿坡罗尼阿斯问题的应用172

3.反复反映173

第四章射影几何学。公理法。非欧几何学177

1.绪言177

1.几何性质的分类。在变换下的不变性177

2.射影变换179

2.基本概念180

1.射影变换群180

2.笛沙格定理182

3.交比184

1.定义及其不变性的证明184

2.应用于完全四线形191

4.平行与无限192

1.作为理想点的无穷远点192

2.理想元素与射影195

3.与无穷远元素的交比197

5.应用198

1.前言198

2.平面上笛沙格定理的证明199

3.巴斯加尔定理201

4.布利安桑定理202

5.略论对偶性203

6.解析的表示法204

1.绪言204

2.齐坐标。对偶性的代数基础206

7.仅用直尺作图的问题209

8.锥线与二次锥面211

1.锥线的初等度量几何211

2.锥线的射影性质214

3.作为线素曲线的锥线218

4.巴斯加尔与布利安桑关于锥线的一般定理222

5.双曲面225

9.公理学与非欧几何学226

1.公理法226

2.双曲线式的非欧几何学230

3.几何学与真实235

4.潘迦勒模型236

5.椭圆几何学与黎曼几何学236

附录多于三维的几何学240

1.绪言240

2.解折的方法240

3.几何的方法或组合的方法243

第五章拓璞学247

绪言247

1.关于多面体的欧拉公式248

2.图形的拓璞性质253

1.拓璞性质253

2.连通数255

3.其他拓璞定理的例257

1.约但曲线定理257

2.四色问题258

3.维的概念260

4.定点定理263

5.纽结267

4.曲面在拓璞学上的分类268

1.曲面的类数268

2.曲面的欧拉特征数270

3.单面曲面271

附录276

1.五色定理276

2.关于多边形的约但曲线定理279

3.代数的基本定理281

第六章函元与极限285

绪言285

1.变元与函元286

1.定义与范例286

2.量度角的弧度法290

3.函元的图形。反函元291

4.复合函元295

5.连续性297

6.包含若干变元的函元299

7.函元与变换302

2.极限303

1.叙列an的极限303

2.单调叙列309

3.欧拉数e311

4.数π313

5.连分数315

3.连续趋近的极限318

1.绪言。一般定义318

2.略论极限概念320

3.sinx/x的极限322

4.当x→∞时的极限324

4.连续的精密定义325

5.两个关于连续函元的基本定理328

1.波扎诺定理328

2.波扎诺定理的证明328

3.魏斯特劳斯关于极大极小值的定理329

4.一个关于叙列的定理。致密集合331

6.波札诺定理的某些应用333

1.几何上的应用333

2.应用于一个力学问题335

第六章增补其他有关极限及连续的例339

1.极限的例339

1.概说339

2.qn的极根340

3.n？p的极限341

4.由诸连续函元的极限所构成的不连续函元342

5.以反复步骤求极限343

2.关于连续的例345

第七章极大与极小347

绪言347

1.初等几何学中的诸问题348

1.已知其两边的三角形的最大面积348

2.希洛定理。光程的极小性348

3.有关三角形问题的应用350

4.椭圆与双曲线的切线性质。对应的极大极小性351

5.至一已给曲线的极大极小距离354

2.解极大极小值问题的一般原则357

1.原则357

2.示例358

3.逗留点与微分学360

1.极大极小与逗留点360

2.包含若干变元之函元的极大与极小。鞍部点361

3.极大中之极小点与拓璞学363

4.从一点至一曲面的距离364

4.施华兹的三角形问题365

1.施华兹的证明365

2.另一个证明367

3.顿角三角形369

4.光线形成的三角形370

5.关于反射问题及均匀分布运动的说明371

5.斯丹纳问题372

1.问题及解372

2.两种可能情况的解析374

3补充问题376

4.说明及练习377

5.推广于道路网问题378

6.极大极小与不等式379

1.两个正量的算术平均数与几何平均数380

2.推广于n个变元382

3.最小二乘法383

7.极大极小的存在。狄里齐累原则385

1.概说385

2.示例387

3.初等的极大极小问题389

4.在较高深问题中的困难390

8.等周问题392

9.具有境界条件的极大极小问题。斯丹纳问题与等周问题间的关连395

10.变分法397

1.绪言397

2.变分法。光学中的斐马原则399

3.柏努利处理最速降落轨迹问题的方法401

4.球上的短程线。短程线与极小中的极大402

11.极小问题的实验解。皂膜实验403

1.绪言403

2.皂膜实验404

3.对柏拉托问题的新实验405

4.其他数学问题的实验解409

第八章微积分417

绪言417

1.积分419

1.作为极限的面积419

2.积分420

3.积分概念的一般讨论。一般定义423

4.积分的例。xr的积分425

5.“积分法”的诸规则430

2.导元434

1.作为斜率的导元434

2.作为极限的导元435

3.求导元的例438

4.三角函元的导元441

5.微分与连续442

6.导元与速度。二次导元与加速度443

7.二次导元在几何上的意义446

8.极大与极小447

3.微分的技巧448

4.莱布尼兹的符号与“无限小”454

5.微积分的基本定理457

1.基本定理457

2.初步的应用。xr，cosx，sinx，arc tanx的积分460

3.莱布尼兹的π公式462

6.指数函元与对数464

1.对数的性质与定义。欧拉数e464

2.指数函元467

3.微分ex，ax，xs的诸公式469

4.将e，ex及logx视为极限的明显公式471

5.关于对数的无限级数。数值计算474

7.微分方程式477

1.定义477

2.指数函元的微分方程式。放射性的蜕变。生长律。复利息477

3.其他的例。最简单的振动481

4.牛顿的动力学定律483

第八章增补487

1.原则问题487

1.可微分性487

2.积分490

3.积分概念的其他应用。功。长度491

2.等级494

1.指数函元与x的乘幂494

2.log（n！）的等级496

3.无限级数与无限积498

1.函元的无限级数498

2.欧拉公式，cosx＋isinx＝eix503

3.调和级数与ζ函元。欧拉关于正弦的积506

4.以统计法得来的素数定理509

附录：补充说明，问题，与练习515

算术与代数515

解析几何学517

几何作图522

射影几何与非欧几何学523

拓璞学525

函元，极限与连续528

极大与极小529

微积分学531

积分的技术533

译后语：数学是演绎的科学541

一、前言541

二、数学的哲学542

三、经验不足恃543

四、推荐几本有助于了解何谓数学的中文书544

五、语意学与界说545

六、直觉主义的论旨546

七、形式主义者的大奏凯歌548

八、演绎法与公理化550

九、演绎科学的形式特性552

十、纯数学与应用数学553

十一、其他的语意界说555

十二、结论557

推荐进一步的读物559

英汉索引及译名对照565