《北京大学教材 微分几何初步》

绪论1

第一章 预备知识1

1 标架1

2 向量函数6

第二章 曲线论10

1 参数曲线10

2 曲线的弧长15

3 曲线的曲率和Frenet标架18

4 挠率和Frenet公式25

5 曲线论基本定理30

6 曲线在一点的标准展开35

7 平面曲线41

第三章 曲面的第一基本形式46

1 曲面的定义46

2 切平面和法线53

3 曲面的第一基本形式58

4 曲面上下交参数曲线网的存在性64

5 保长对应和保角对应67

6 可展曲面76

第四章 曲面的第二基本形式82

1 第二次基本形式82

2 法曲率89

3 Gauss映射和Weigarton映射95

4 主方向和主曲率的计算101

5 Dupin标形和曲面在一点的标准展开110

6 某些特殊曲面117

第五章 曲面论基本定理125

1 自然标架的运动公式125

2 曲面的唯一性定理134

3 贡面论基本方程136

4 曲面的存在性定理142

5 Gauss定理146

第六章 测地曲率和测地线156

1 测地曲率和测地挠率156

2 测地线167

3 测地坐标系175

4 常曲率曲面183

5 曲面上向量场的平行移动189

6 Gauss-Bonnet公式195

第七章 活动标架和外微分法203

1 外形式204

2 外微分214

3 E3中的标架族226

4 曲面上的标架场234

5 曲面上的曲线248

附录257

1 关于常微分方程的几个定理257

2 一阶偏微分方程组的可积性262

3 张量270

索引278