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第一章 预备知识1

1 微分流形1

2 可微映射6

关于编号的说明9

关于某些符号与用语的说明10

3 切空间与切映射11

4 代数基本定理的“拓扑”证明17

附录α 逆函数定理21

练习A25

第二章 第二可数性质，仿紧性质与单位分解27

1 第二可数性质27

2 局部紧性质29

3 仿紧性质31

4 单位分解32

5 紧流形嵌入Euclid空间35

练习B37

第三章 Whitney 嵌入定理39

1 零测集39

2 Whitney浸入定理43

3 常态映射与Whitney嵌入定理52

练习C58

第四章 向量丛与管状邻域定理，映射的光滑化与同伦的光滑化60

1 引例60

2 向量丛的概念66

3 子丛，Riemann度量，正交补丛72

4 管状邻域定理75

5 映射的光滑化与同伦的光滑化85

附录β 更一般的管状邻域定理88

练习D89

第五章 正则值与横截性91

1 正则值与Sard定理91

2 横截性94

3 横截逼近定理97

4 关于映射的Cr拓扑与Cr意义下的逼近103

5 涉及带边流形的定理106

附录γ Sard定理的证明115

练习E120

1 向量场与流123

第六章 向量场与流，Morse函数123

2 流形的匀齐性129

3 Morse函数132

练习F135

第七章 一维流形的分类与Brouwer不动点定理137

1 一维微分流形的分类137

2 Brouwer不动点定理143

练习G146

第八章 模2映射度与Borsuk-Ulam定理148

1 模2映射度149

2 模2环绕数155

3 Borsuk-Ulam定理159

练习H163

第九章 定向映射度与Hopf定理165

1 可定向流形165

2 定向映射度与定向环绕数170

3 Hopf定理177

练习I185

1 映射度定义的局部化186

第十章 局部映射度，Leray乘积公式与Jordan-Brouwer分离定理186

2 Leray乘积公式190

3 Jordan-Brouwer分离定理195

4 紧致超曲面的分离性质199

练习J203

第十一章 相交数，向量场奇点的指标与Poincaré-Hopf定理205

1 模2相交数205

2 定向相交数207

3 相交数定义的局部化213

4 向量丛截面的光滑化与横截逼近215

5 向量场孤立零点的指标216

6 Poincaré-Hopf定理220

练习K225

第十二章 映射度的积分表示与Gauss-Bonnet公式226

1 映射度的积分表示226

2 Gauss-Bonnet公式232

练习L236

附录δ 外微分形式的积分与一般Stokes定理237

参考文献258

术语索引260

符号索引264