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第零章预备知识1

1 集合与映射1

2 不等式9

3 直线上的点集12

4 实数基本定理14

5 一致连续性与一致收敛性21

第一章Lebesgue积分初步27

1 阶梯函数的积分27

2 C1函数的积分32

3 Lebesgue积分37

4 几个基本定理40

5 可测函数与可测集46

6 重积分与不定积分51

习题53

附录 Riemann可积的充要条件54

第二章赋范线性空间57

1 线性空间58

2 赋范线性空间的定义和例62

3 开集、闭集、凸集67

4 连续映射71

5 完备性、Banach空间74

6 稠密性与可分性80

7 紧性与泛函的极值83

8 压缩映射原理及其应用87

习题93

1 内积、Hilbert空间96

第三章Hilbert空间96

2 直交与投影100

3 直交系与Gram-Schmidt直交化105

4 Fourier级数与最佳逼近112

5 对偶逼近问题120

6 可分Hilbert空间的模型124

习题126

1 连续线性泛函的基本概念128

第四章线性泛函和对偶空间128

2 对偶空间及例131

3 Hilbert空间上连续线性泛函的一般形式137

4 线性泛函的延拓140

5 二次对偶空间144

6 最小范数问题148

7 超平面与凸集分离154

8 弱收敛与弱收敛159

习题164

第五章线性算子和谱166

1 基本概念167

2 线性算子的基本定理172

3 共轭算子、值域和零空间179

4 紧算子的Riesz-Schauder理论184

5 Hilbert空间中的自共轭算子191

6 Hilbert-Schmidt定理195

7 无界自共轭算子谱论简介202

习题209

第六章广义函数与Sobolev空间211

1 广义函数的概念211

2 广义函数的导数216

3 Sobolev空间219

4 迹221

5 嵌入定理222

6 等价范数定理224

第七章Banach空间中的微分学227

1 微分的概念227

2 微分的基本性质233

3 偏导数与高阶导数236

4 隐函数定理239

5 不动点定理241

习题答案与提示244

名词索引251

参考书目254