《矢量、并矢分析与符号运算法》

第一章矢量代数1

1-1 矢量函数的表示方法1

1-2 矢量的乘积和矢量恒等式5

1-3复矢量代数12

1-3-1 复矢量的定义及其加减法12

1-3-2 复矢量的标量积(点积)13

1-3-3 复矢量的矢量积(叉积)14

1-3-4 结论15

第二章矢量分析16

2-1 场的概念——标量场与矢量场16

2-2 场矢量的导数18

2-3场矢量的积分22

2-3-1 矢量函数的线积分及其分类22

2-3-2 矢量函数的面积分及其分类23

2-3-3 矢量函数的体积分及其分类24

2-4 几个有用的数学公式25

2-5 方向导数的概念——标量场和矢量场的方向导数及其符号31

2-6 标量场的等值面和梯度的概念34

2-7 矢量场通量和散度的概念，散度在直角坐标系中的表达式39

2-8 高斯定理43

2-9 矢量的环路积分和矢量场的旋度概念44

2-10 旋度在直角坐标系中的表达式47

2-11 斯托克斯定理53

第三章曲线坐标系55

3-1曲线坐标系的一般理论55

3-1-1 确定空间中点的位置的方法55

3-1-2 坐标面与坐标线的概念59

3-1-3 正交曲线坐标系概念和正交的条件60

3-1-4 度量系数的概念63

3-1-5 用曲线坐标表示的长度元公式63

3-1-6 体积元的定义及其表达式66

3-1-7 曲面上的面积元67

3-1-8 以空间曲线坐标表示的曲面面积元公式74

3-2 常用的空间正交曲线坐标系78

3-3 空间正交曲线坐标系的其他表示形式109

3-4散度、旋度、梯度及方向导数在曲线坐标系中的表达式121

3-4-1 一些辅助关系式121

3-4-2 单位矢量eu，ev，ew的导数122

3-4-3 关于eu，ev，ew导数的另一些公式126

3-4-4 divF在正交曲线坐标系中的表达式127

3-4-5 rotF在正交曲线坐标系中的表达式128

3-4-6 gradf在正交曲线坐标系中的表达式131

3-4-7 方向导数(a·？)b在正交曲线坐标系中的表达式133

3-5 grad？，divE，rotE在不同正交曲线坐标系中的具体表达式135

3-6 平面上的几种常用正交曲线坐标系147

3-7 单位矢量变换的梯度法164

第四章矢量分析中的符号运算法173

4-1 绪言173

4-2 ？算子182

4-3 拉普拉斯算子的定义194

4-4 ？算符的性质198

4-5 ？算符第一定义方式的局限性199

4-6 ？算符第二定义方式在正交曲线坐标系中的通用性202

4-7 ？算符的用途207

4-8 符号运算法的定义210

4-9 ？算符的符号运算法不成功的原因213

4-10 解决符号运算法问题的思路——引入新符号的必要性215

4-11 新符号矢量？的引入216

4-12 T(？)的一般定义219

4-13 T(？)在直角坐标系中的表达式223

4-14 T(？)的另一定义——希洛夫定义225

4-15 有关T(？)的定理1——符号运算法的建立229

4-16 有关T(？)的定理2——分解法则231

4-17 有关T(？)的定理3——有常数项时对T(？)的解释233

4-18 符号运算法的规则235

4-19 赫维赛符号运算法的解释236

4-20 柯青符号运算法的解释和证明238

4-21 辅助公式241

4-22运算举例245

4-22-1 关于grad的运算例题245

4-22-2 关于div的运算例题249

4-22-3 关于rot的运算例题258

4-22-4 关于矢量方向导数的运算例题264

4-22-5 其他类型的例题264

4-23 积分关系式268

4-24 二重？算子的定义272

4-25 T(？，？)的性质276

4-26 关于对T(？，？)运算的例题278

4-27 格林积分定理285

4-28复矢量的微积分290

4-28-1 复矢量函数的梯度、散度和旋度的定义290

4-28-2 复矢量的T(？)的定义292

4-28-3 T(？)的性质293

第五章并矢代数和并矢的微分、积分295

5-1 并矢代数的基本定义295

5-2 并矢在直角坐标系中的表达式296

5-3 并矢代数恒等式298

5-4 并矢的和、差、微分及积分305

第六章并矢分析及其符号运算法307

6-1 并矢分析中几个基本场函数的定义307

6-2 ？算符的引入及含？表达式的定义312

6-3 T(？)的定义313

6-4 T(？)的性质320

6-5 运算举例321

6-6 T(？，？)的定义和性质327

6-7 对T(？，？)的运算举例328

6-8 积分关系式330

6-9 圆柱坐标系中grada，div？，rot？，？2？的表达式337

6-10 球坐标系中grada，div？，rot？，？2？的表达式342

6-11 grada，div？，rot？，？2？在一般正交曲线坐标系中的表达式346

6-12 依赖于两个相互独立坐标的函数的并矢表达式347

参考文献350