《数学物理方程中的近代分析方法》求取 ⇩

第一章摄动方法1

1 基本概念1

1-1 摄动问题的提出1

1-2 量阶符号2

1-3 渐近展开式2

1-4 正则摄动与奇异摄动3

2 正则摄动方法举例5

3 奇异摄动问题举例7

4 多重尺度法12

4-1 直接展开法12

4-2 精确解13

4-3 多重尺度法的应用16

5 几点说明23

习题1-125

参考文献26

第二章泛函分析基础27

1 集的基本概念27

1-1 集和集的运算27

1-2 集的对等30

1-3 可列集与不可列集32

习题2-134

2 距离空间36

2-1 距离空间的概念36

2-2 开集·数轴上开集的构造38

2-3 收敛序列和闭集40

2-4 稠密集·可分空间43

2-5 距离空间的完备性与完备化45

2-6 压缩映照原理47

2-7 距离空间内集的列紧性52

习题2-255

3-1 积分概念扩充的必要性59

3 勒贝格测度与勒贝格积分59

3-2 数轴上点集的测度61

3-3 可测函数68

3-4 有界可测函数的勒贝格积分74

3-5 无界函数的勒贝格积分81

3-6 多元函数的勒贝格积分与富比尼定理83

习题2-385

4 线性有界算子·巴拿赫空间中的几个定理87

4-1 线性赋范空间87

4-2 线性有界算子92

4-3 共轭空间99

4-4 巴拿赫空间中的基本定理100

习题2-4107

5 希尔伯特空间108

5-1 内积空间108

5-2 希尔伯特空间中的正交展开114

5-3 希尔伯特空间的同构122

5-4 希尔伯特空间上有界线性泛函的一般形式125

习题2-5128

参考文献129

第三章泛函极值及变分法131

1 算子的微分131

1-1 Gateaux微分131

1-2 Frechet微分133

2 泛函的极值136

2-1 泛函极值及其必要条件136

2-2 Euler-Lagrange方程136

习题3-2140

3 自由边界和自然边界条件141

习题3-3143

4 变分原理143

4-1 线性算子方程143

4-2 共轭算子和自共轭算子144

4-3 正定对称算子的变分原理147

5 泛函的条件极值150

5-1 有限维约束条件150

5-2 无穷维约束条件156

习题3-5163

6 变分问题的近似方法163

6-1 Ritz法163

6-2 Galerkin法167

6-3 坐标函数的选取171

习题3-6173

参考文献173

第四章积分方程175

1 积分方程的概念和分类175

1-1 基本概念175

1-2 积分方程与微分方程的关系178

2 积分方程解的存在唯一性181

习题4-1181

习题4-2185

3 自共轭积分算子的谱理论185

3-1 全连续自共轭算子及其特征值和特征函数系185

3-2 依特征函数系的展开定理193

习题4-3203

4 Fredholm定理204

4-1 线性代数方程的Fredholm定理204

4-2 退化核积分方程的代数解法205

4-3 退化核积分方程的Fredholm定理207

4-4 连续核及平方可积核的Fredholm定理211

习题4-4211

参考文献212

第五章广义函数与偏微分方程广义解213

1 引言213

1-1 古典函数的局限性213

1-2 偏微分方程古典解的局限性214

1-3 广义函数的引入与δ函数218

2 基本空间220

2-1 空间C∞(Ω)220

2-2 空间C？(Ω)222

2-3 速降函数空间？(Rn)225

2-4 半范与B0空间227

习题5-2229

3 广义函数及其运算230

3-1 ？1，1？及？1广义函数230

3-2 广义函数的支集234

3-3 广义函数的极限236

3-4 广义函数的导数237

3-5 广义函数的乘子240

3-6 广义函数的自变量变换242

3-7 广义函数的卷积244

习题5-3246

4 Fourier变换248

4-1 ？(Rn)上的Fourier变换248

4-2 ？′(Rn)上的Fourier变换252

习题5-4257

5 偏微分方程基本解257

5-1 线性偏微分方程基本解258

5-2 波动方程Cauchy问题的基本解及广义解267

5-3 热传导方程Cauchy问题的基本解及广义解269

习题5-5270

6 偏微分方程广义解271

6-1 线性偏微分方程广义解存在的充分必要条件271

6-2 Sobolev空间简介277

6-3 二阶椭圆型方程Dirichlet问题在H？(Ω)中的可解性280

参考文献283

附录 Fourier变换简表284

习题答案287