《概率论及其应用 第2卷》

第一章 指数密度与均匀密度1

1．引言1

2．密度。卷积3

3．指数密度8

4．等待时间的悖论。Poisson过程11

5．倒霉事的持续时间16

6．等待时间与顺序统计量18

7．均匀分布22

8．随机分裂26

9．卷积与覆盖定理27

10．随机方向31

11．Lebesque测度的利用35

12．经验分布39

13．问题42

第二章 特殊密度。随机化49

1．符号与约定49

2．г分布51

3．与统计学有关的分布52

4．一些常用的密度54

5．随机化与混合59

6．离散分布61

7．Bessel函数与随机游动64

8．圆上的分布68

9．问题71

1．密度74

第三章 高维密度。正态密度与正态过程74

2．条件分布80

3．再论指数分布和均匀分布82

4．正态分布的特征87

5．炬阵记号。协方差矩阵90

6．正态密度与正态分布93

7．平稳正态过程97

8．Markov正态密度105

9．问题111

第四章 概率测度与概率空间115

1．Baire函数115

2．区间函数与在?上的积分118

3．σ代数。可测性125

4．概率空间。随机变量128

5．扩张定理132

6．乘积空间。独立变量序列134

7．零集。完备化139

第五章 ?中的概率分布141

1．分布与期望142

2．预备知识151

3．密度154

4．卷积159

5．对称化165

6．分部积分。矩的存在性167

7．Chebyshev不等式168

8．进一步的不等式。凸函数170

10．条件分布178

11．条件期望180

12．问题183

第六章 一些重要的分布和过程188

1．?1中的稳定分布188

2．例192

9．简单的条件分布。混合194

3．?1中的无穷可分分布196

4．独立增量过程200

5．复合Poisson过程中的输光问题203

6．更新过程205

7．例与问题208

8．随机游动212

9．排队过程216

10．常返的和瞬时的随机游动223

11．一般的Markov链228

12．鞅233

13．问题239

第七章 大数定律。在分析中的应用243

1．主要引理与记号243

2．Bernstein多项式。绝对单调函数246

3．矩问题248

4．在可交换变量中的应用253

5．广义Taylor公式与半群256

6．Laplace变换的反演公式258

7．同分布变量的大数定律260

8．强大数定律264

9．向鞅的推广268

10．问题272

第八章 基本极限定理274

1．测度的收敛性274

2．特殊性质280

3．作为算子的分布282

4．中心极限定理287

5．无穷卷积295

6．选择定理296

7．Markov链的遍历定理300

8．正则变化304

9．正则变化函数的渐近性质309

10．问题315

1．概论322

第九章 无穷可分分布与半群322

2．卷积半群325

3．预备引理329

4．有限方差的情形331

5．主要定理334

6．例：稳定半群340

7．具有同分布的三角形阵列343

8．吸引范围347

9．可变分布。三级数定理352

10．问题354

第十章 Markov过程与半群357

1．伪Poisson型357

2．一种变形：线性增量361

3．跳跃过程363

4．?1中的扩散过程369

5．向前方程。边界条件375

6．高维扩散382

7．从属过程384

8．Markov过程与半群388

9．半群理论的“指数公式”392

10．生成元。向后方程395

第十一章 更新理论398

1．更新定理398

2．更新定理的证明404

3．改进407

4．常返更新过程409

5．更新时刻的个数N?413

6．可终止(瞬时)过程416

7．各种各样的应用419

8．随机过程中极限的存在性421

9．全直线上的更新理论423

10．问题429

第十二章 ?1中的随机游动433

1．基本的概念与记号434

2．对偶性。随机游动的类型438

3．阶梯高度的分布．Wiener-Hopf因子分解443

3a．Wiener-Hopf积分方程448

4．例449

5．应用454

6．一个组合引理458

7．阶梯时刻的分布459

8．反正弦定律464

9．杂录471

10．问题473

第十三章 Laplace变换。Tauberian定理。预解式479

1．定义。连续性定理479

2．基本性质484

3．例486

4．完全单调函数。反演公式490

5．Tauberian定理493

6．稳定分布500

7．无穷可分分布502

8．高维情形505

9．半群的Laplace变换507

10．Hille-Yosida定理512

11．问题517

第十四章 Laplace变换的应用521

1．更新方程：理论521

2．更新型方程：例523

3．包含反正弦分布的极限定理526

4．忙期与有关的分支过程528

5．扩散过程531

6．生灭过程与随机游动535

7．Kolmogorov微分方程540

8．例：纯增殖过程546

9．遍历极限与首次通过时间的计算549

10．问题554

1．定义。基本性质557

第十五章 特征函数557

2．特殊的分布。混合561

2a．一些意外的现象565

3．唯一性。反演公式567

4．正则性572

5．关于相等分量的中心极限定理575

6．Lindeberg条件579

7．高维特征函数582

8．正态分布的两种特征586

9．问题588

第十六章 与中心极限定理有关的展开式594

1．记号594

2．密度的展开式596

3．磨光600

4．分布的展开式603

5．Berry-Esseen定理607

6．在可变分量情形下的展开式612

7．大偏差615

第十七章 无穷可分分布621

1．无穷可分分布621

2．标准型。主要的极限定理625

2a．特征函数的导数633

3．例与特殊性质634

4．特殊性质639

5．稳定分布及其吸引范围643

6．稳定密度652

7．三角形阵列654

8．类L660

9．部分吸引。“普遍的定律”662

10．无穷卷积665

11．高维的情形666

12．问题668

第十八章 Fourier方法在随机游动中的应用672

1．基本恒等式672

2．有限区间。Wald逼近675

3．Wlener-Hopf因子分解679

4．含义及应用684

5．两个较深刻的定理687

6．常返性准则690

7．问题693

第十九章 调和分析696

1．Parseval关系式696

2．正定函数697

3．平稳过程700

4．Fourier级数704

5．Poisson求和公式707

6．正定序列712

7．L2理论714

8．随机过程与随机积分721

9．问题727

问题解答730

参考文献736

索引738