《线性代数 方法导引》

线性代数的基本内容与学习要求1

第一部分 线性代数的：“解析理论”1

第一章 矩阵1

1 基本概念与基本结论1

2 非异阵及其逆阵5

3 矩阵的初等变换与初等阵7

4 矩阵理论中的六大基本方法13

习题26

第二章 行列式31

1 基本概念与基本结论31

2 行列式乘法规则35

3 伴随阵，用行列式求非异阵之逆阵37

4 行列式的各种计算方法42

5 行列式的分块，行列式的降阶定理53

6 柯希-皮内公式，两个方阵之和的行列式63

习题70

1 基本概念与基本结论81

第三章 线性方程组及其应用81

2 线性方程组解的理论与应用，用消去法解线性方程组84

3 矩阵的秩与矩阵的子式95

习题95

第四章 矩阵的秩及其应用98

1 列满秩阵与行满秩阵98

2 秩的降阶定理101

3 满秩分解104

4 广义逆矩阵108

习题111

第五章 方阵的特征值与方阵的相似117

1 基本概念与基本结论117

2 特征多项式的降阶定理119

3 方阵的相似，特征值方法的(初步)运用122

4 汉密尔顿-凯莱定理的应用127

习题129

第六章 方阵的相似标准形134

1 基本概念与基本结论134

2 弗罗本尼乌斯标准形及其应用136

3 若当标准形的应用142

习题145

第七章 方阵的正交相似与酉相似148

1 镜象阵148

2 实对称阵正交相似的标准形155

3 许尔定理159

习题161

第八章 方阵的合同与二次型165

1 基本概念与基本结论165

2 化实二次型为平方和的方法168

3 正定二次型与正定阵的应用171

习题179

第九章 正定阵及其应用182

1 两个实二次型同时化为平方和182

2 半正定阵(或正定阵)的平方根184

3 奇异值分解与极因子分解187

4 许尔定理190

习题193

1 基本概念与基本结论196

第十章 线性空间与欧氏空间196

第二部分 线性代数的“几何理论”196

2 线性空间的性质，基与维数的求法198

3 子空间的直接和与正交补空间206

4 格兰姆矩阵，广义阿达马不等式216

习题220

第十一章 线性空间上的线性映射224

1 基本概念与基本结论224

2 线性映射空间，全线性变换环229

3 线性变换的一维不变子空间与特征子空间233

4 线性映射的像空间与核空间237

习题239

第十二章 线性代数的“几何”理论中的基本方法241

1 六个基本方法简述241

2 运用同构的方法244

3 运用线性包的方法249

4 运用各种特殊子空间的方法253

5 运用正交化的方法260

习题265