《经典位势论与概率位势论 下》求取 ⇩

第2部分 第1部分的概率对应1

第Ⅰ章 概率的基本概念1

1.可测空间上的适应函数族1

2.循序可测性2

3.随机变量5

4.条件期望5

5.条件期望的连续性定理8

6.条件期望的Fatou引理12

7.条件期望的控制收敛定理12

8.随机过程，“不足道”，“无区别”，“标准修正”，“几乎”13

9.集的命中与循序可测性16

10.正则过程和有限维分布18

11.基本概率空间的选取21

12.右连续过程对集的命中22

13.与随机过程循序可测性相对的可测性24

14.可料函数族28

第Ⅱ章 可选时及有关概念31

1.可选时的由来31

2.可选时的性质(连续参数情形)33

3.在可选时上的过程函数36

4.命中时间与进入时间38

5.应用于样本函数的连续性40

6.上节的续42

7.可料可选时43

8.截口定理44

9.可料时的图与可料集的进入时间46

10.R？×Ω的半极子集48

11.随机过程的类D与类L？48

12.可选时的分解；可及的与绝不可及的可选时50

第Ⅲ章 鞅论初步53

1.定义53

2.例54

3.初等性质(任意全序参数集情形)57

4.鞅论中的参数集58

5.上鞅族的收敛59

6.可选样本定理(有界停时情形)60

7.右闭过程的可选样本定理62

8.可选停止63

9.极大不等式64

10.条件极大不等式66

11.下鞅上确界的一个L？不等式66

12.下穿68

13.L′有界情形的向前收敛73

14.一致可积鞅的收敛74

15.可右闭上鞅的向前收敛77

16.鞅的向后收敛77

17.上鞅的向后收敛78

18.τ算子79

19.上鞅的自然序分解定理81

20.算子LM与GM82

21.上鞅位势与Riesz分解83

22.离散参数概率论中的位势论约化84

23.应用于下穿不等式85

第Ⅳ章 连续参数上鞅的基本性质88

1.连续性88

2.一致可积连续参数鞅的可选样本93

3.连续参数上鞅的可选样本与收敛性96

4.上鞅的递增序列98

5.位势理论基本收敛定理的概率版本102

6.拟有界正上鞅，由增过程生成的上鞅位势106

7.可料增过程的自然性(I=Z+或R+)110

8.增过程生成的上鞅位势，离散参数情形116

9.可料增过程的一个不等式117

10.增过程生成的上鞅位势，任意参数集情形118

11.连续参数情形由增过程生成的上鞅位势：Meyer分解121

12.下鞅的Meyer分解124

13.与上鞅相连系的测度的作用，上鞅的控制原理125

14.连续参数场合的算子τ，LM与GM129

15.R？×Ω上的位势理论131

16.R？×Ω上的细拓扑132

17.连续参数概率论中的位势理论约化134

18.约化性质136

19.上节约化性质的证明140

20.约化的计算146

21.上鞅位势的能148

22.上鞅间断性的排除149

23.上鞅的分解与间断151

第Ⅴ章 随机过程的格与相关的类154

1.惯例，本性序154

2.下鞅{x(·)，？(·)}的LMx(·)155

3.一致可积正下鞅157

4.Lp有界随机过程(p≥1)158

5.格(′S±，≤)，(′S+，≤)，(S±，≤)，(S+，≤)160

6.向量格(′S，≤)与(S,≤)162

7.向量格(′Sm，≤)与(Sm,≤)164

8.向量格(′Sp，≤)与(Sp,≤)165

9.向量格(′Sqb，≤)与(Sqb,≤)166

10.向量格(′Ss，≤)与(Ss,≤)168

11.正交分解′Sm=′Smqb+′Sm1与Sm=Smqb+Sm2169

12.局部鞅与(S，≤)中的奇异上鞅位势170

13.拟鞅(连续参数情形)171

第Ⅵ章 Markov过程176

1.Markov性176

2.过滤的选取181

3.有平稳转移概率的整参数Markov过程182

4.鞅论在离散参数Markov过程中的应用185

5.具有平稳转移概率的连续参数Markov过程188

6.右连续过程的特性190

7.连续参数Markov过程：寿命与灭绝点193

8.Markov过程过滤的右连续性，一个0-1律195

9.强Markov性196

10.概率位势理论，过分函数200

11.过分函数与上鞅204

12.过分函数与解析集的命中时间205

13.条件Markov过程206

14.约束Markov过程208

15.中断Markov过程209

第Ⅶ章 Brown运动211

1.以RN为状态空间的独立增量过程211

2.Brown运动213

3.Brown轨道的连续性218

4.Brown运动过滤221

5.Brown转移密度和Brown运动的基本性质224

6.Brown运动的0-1律227

7.约束Brown运动230

8.André反射原理232

9.开集中的Brown运动(N≥1)234

10.开集中的时空Brown运动238

11.区间中的Brown运动240

12.关于区间的抛物型测度的概率计算242

13.热方程及其对偶的概率意义243

第Ⅷ章 It？积分245

1.记号245

2.г0的大小247

3.It？积分的性质248

4.对г0中被积过程的随机积分251

5.对г中的被积过程的随机积分252

6.第3节中性质的证明254

7.推广到向量值和复值被积过程259

8.关于Brown运动过滤的鞅260

9.变量替换264

10.Brown运动增量的作用267

11.用Riemann-Stieltjes和计算It？积分(N=1)269

12.It？公式271

13.势论基本函数与Brown运动的复合275

14.解析函数与Brown运动的复合276

第Ⅸ章 Brown运动和鞅论278

1.初等鞅应用278

2.共抛物型多项式和鞅论282

3.？N上的上调和与调和函数，上鞅与鞅284

4.命中一个Fσ集287

5.Brown运动对集合的命中289

6.上调和函数，Brown运动的过分函数291

7.上调和函数与Brown运动复合的初步处理，一个概率Fatou边界极限定理295

8.Brown运动的过分函数和不变函数300

9.应用于命中概率和转移密度的抛物性302

10.Brown运动命中非极集(N=2)303

11.Brown运动复合函数的连续性304

12.Brown运动与上调和函数复合的连续性306

13.经典Dirichlet问题的概率初解307

14.约化的概率计算309

15.细拓扑的概率描述312

16.Brown运动的α过分函数及其与Brown运动的复合316

17.作为Green函数的Brown运动转移函数；对应的向后和向前抛物型方程319

18.Brown运动的过分测度321

19.Brown运动的几乎Borel集324

20.从非规则边界点出发的Brown运动命中一个集325

第Ⅹ章 条件Brown运动327

1.定义327

2.用Brown运动表示h-Brown运动331

3.(2.1)的由来336

4.h-Brown运动在其生存时间的渐近特性339

5.从h的无穷大点出发的h-Brown运动342

6.时间逆转下的Brown运动344

7.对于h调和函数Dirichlet问题的概率初解；h-Brown运动命中概率和对应的广义约化348

8.严格正上调和函数比值的概率边界极限和内极限定理352

9.球内的条件Brown运动356

10.条件Brown运动的末遇分布；用末遇分布表示集的容度分布359

11.条件Brown运动的尾σ代数360

12.条件时空Brown运动366

13.参数集为R的在［？N］RN中的［时空］Brown运动367

第3部分371

第Ⅰ章 经典位势理论与鞅论中的格371

1.经典位势理论与鞅论之间的对应371

2.在位势理论与鞅论中S的分解分量间的关系372

3.类L？与类D373

4.加在h调和函数及鞅上的PWB相关条件373

5.相对于拟有界性的类D性质375

6.拟有界性的一个条件376

7.S？中元素的奇异性377

8.S？中元素的奇异分量378

9.类Spqb379

10.类Sps382

11.与h-Brown运动相联系的h上调和函数之分量的格论分析383

12.S？的一种分解(位势理论情形)385

13.第11节的续386

第Ⅱ章 Browm运动与PWB方法388

1.问题的由来388

2.PWB方法的概率分析389

3.PWBh的例393

4.PWBh情形的尾σ代数395

第Ⅲ章 Martin空间上的Brown运动397

1.Martin空间上Brown运动的构造397

2.从Martin边界点出发的Brown运动398

3.极小Martin边界点处的0-1律与极小细拓扑的概率刻划(记号同第1节)401

4.Martin空间上的概率Fatou定理403

5.定理1.X1.4(c)及其在边界上对应结果的概率方法404

6.抛物型情形调和函数的Martin表示407

2.Suslin变换411

1.集的铺与代数411

附录Ⅰ 解析集411

3.乘积铺上的解析集412

4.解析扩张与铺的σ代数扩张413

5.？(？)的投影特性413

6.运算？(？)414

7.乘积铺中集的投影415

8.可测性概念到解析运算情形的推广415

9.完备度量空间的Gσ集416

10.Polish空间417

11.Baire零空间417

12.解析集418

13.Polish空间的解析子集420

附录Ⅱ 容度理论421

1.Choquet容度421

2.Sierpinski引理421

4.Lusin定理422

3.Choquet容度定理422

5.Choquet容度的一个基本例子423

6.强次可加集函数424

7.由正强次可加集函数产生Choquet容度425

8.拓扑准容度427

9.普遍可测集428

3.锥430

2.格的定义430

1.引言430

附录Ⅲ 格论430

4.由锥产生的特殊序431

5.向量格432

6.向量格的分解性质434

7.向量格中的正交性435

8.向量格中的带435

9.在带上的投影436

11.单元素生成的带437

10.集的正交补437

12.序收敛438

13.在线性序集上的序收敛439

附录Ⅳ 测度论中的格论概念441

1.集代数的格441

2.可测空间和可测函数442

3.复合函数443

4.可测空间的测度格444

5.可测空间的σ有穷测度格(记号同第4节)446

6.Hahn和Jordan分解447

7.向量格？448

8.绝对连续性和奇异性449

9.测度空间上可测函数的格450

10.可测函数族的序收敛451

11.Polish空间上的测度454

12.测度的导数455

附录Ⅴ 一致可积性457

附录Ⅵ 核和转移函数459

1.核459

2.核的普遍可测扩张460

3.转移函数461

附录Ⅶ 积分极限定理464

1.一个基本极限定理464

2.比值积分极限定理465

3.一个一维比值积分极限定理466

4.涉及凸变差导数的比值积分极限定理467

附录Ⅷ 下半连续函数471

1.函数的下半连续平滑471

2.下半连续函数族的上确界471

3.ChoquetR拓扑引理472

历史注记473

参考文献501

内容索引511