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第1部分 经典位势理论和抛物型位势理论1

第Ⅰ章 经典位势理论数学背景的介绍1

1.Green公式1

2.函数平均2

3.调和函数3

4.调和函数的最大最小值定理4

5.RN中的基本核和它的位势4

6.Gauss积分定理6

7.位势的光滑性;Poisson方程6

8.调和测度和Riesz分解10

第Ⅱ章 调和、次调和上调和函数的基本性质14

1.球的Green函数;Poisson积分14

2.Harnack不等式16

3.调和函数有向集的收敛性18

4.调和、次调和与上调和函数19

5.上调和函数的最小值定理20

6.运算?的应用21

7.用调和函数刻画上调和函数23

8.可微分上调和函数24

9.Jensen不等式的应用25

10.圆环上的上调和函数25

11.例27

12.Kelvin变换(N≥2)28

13.Green集29

14.球B上的调和函数类Lλ(μB-)和D(μB-),Riesz-Herglotz定理30

15.Fatou边界极限定理34

16.最小调和函数36

第Ⅲ章 上调和函数族的下确界38

1.最小上调和强函数(LM)和最大次调和弱函数(GM)38

2.定理1的一般化39

3.基本收敛定理(初步)40

4.约化运算42

5.约化性质45

6.紧集上约化的一个最小性质47

7.正上调和函数的自然(逐点)序分解48

第Ⅳ章 特殊开集上的位势50

1.特殊开集及其上的位势50

2.例53

3.位势的一个基本最小性质54

4.递增的位势列54

5.位势的光滑55

6.确定位势的测度的唯一性55

7.与一个上调和函数相伴的Riesz测度57

8.Riesz分解定理58

9.R2上的上调和函数Riesz分解的补充59

10.一个逼近定理61

第Ⅴ章 极集及其应用64

1.定义64

2.和一个极集相位的上调和函数65

3.极集的可数并66

4.极集的性质67

5.上调和函数的扩张68

6.R2中的Green集作为非极集的补集71

7.上调和函数最小值定理(定理11.5的推广)71

8.Evans-Vasilesck定理73

9.用连续位势逼近位势74

10.控制原理75

11.位势的无穷集和Riesz测度77

第Ⅵ章 基本收敛定理及约化运算79

1.基本收敛定理79

2.内极集与极集81

3.约化运算的性质83

4.约化性质的证明87

5.约化和容度95

第Ⅶ章 Green函数96

1.Green函GD的定义96

2.GD的极值性质98

3.GD的有界性质99

4.GD的进一步性质101

5.测试μ的位势GDμ104

6.递增开集列及其对应的Green函数列106

7.GD的存在性与D的Green特性107

8.从特殊集到Green集108

9.逼近引理108

10.作为最小调和函数的函数GD(·,?)?D-?109

第Ⅷ章 关于相对调和函数的Dirichlet问题111

1.相对调和、上调和与次调和函数111

2.PWB方法113

3.例118

4.Euclid边界上的连续边界函数(h≡1)120

5.h-调和测度零集122

6.PWBh解的性质125

7.第6节的证明127

8.h-调和测度130

9.h-可解边界135

10.约化与Dirichlet解的关系138

11.算子?的推广及应用于GMh140

12.壁141

13.h-壁与边界点h-规则性143

14.壁与Euclid边界点的规则性144

15.规则性的几何意义(Euclid 边界,h≡1)147

16.第13节的继续149

17.作为D的函数的h-调和测度μ?149

18.GD的扩张G?及当D?B时的调和平均μD(§,G?(η,·))151

19.D=R2时第18节的变动155

20.ΦD作为具有极点∞的Green函数的解释(N=2)159

21.算子τB的变式159

第Ⅸ章 格与相关的函数类161

1.引言161

2.h-次调和函数u的LM?161

3.类(Dμ?-)162

4.类Lp(μ?-)(p≥1)164

5.格(S±,≤)和(S+,≤)166

6.向量格(S,?)167

7.向量格Sm170

8.向量格Sp170

9.向量格Sqb171

10.向量格Ss172

11.Riesz分解的一个细化173

12.球上的h-调和函数格174

第Ⅹ章 扫除运算178

1.有关扫除的概念和术语178

2.调和测度与扫除核的关系180

3.扫除对称性定理181

4.δ?的核性质182

5.扫除测度与函数183

6.δ?的一些性质185

7.正调和函数的极点186

8.极集上的相对调和测度187

第Ⅺ章 细拓扑190

1.定义与基本性质190

2.薄性判别准则192

3.ξ∈A′的条件193

4.内极限定理196

5.细拓扑到RN∪{∞}上的扩张199

6.RN的子集的细拓扑导集202

7.应用于基本收敛定理和约化202

8.细拓扑极限和Euclid拓扑极限203

9.细拓扑极限和Euclid拓扑极限(续)204

10.用特殊函数u﹟识别A′205

11.拟Lindelōf性206

12.用细拓扑表示的规则性207

13.Green集在其Euclid边界集的薄性208

14.扫除测度的支集208

15.〖μ〗A的刻画209

16.一个特殊约化210

17.上调和函数常值集的细内部210

18.扫除测度的支集(第14节的续)211

19.细开集上的上调和函数213

20.一个广义约化214

21.上调和函数在其定义域上非规则边界点处的极限216

22.极限调和测度′μD218

23.控制原理的推广221

第Ⅻ章 Martin边界222

1.动机的形成222

2.Martin函数223

3.Martin空间224

4.正调和函数及其约化的初步表示226

5.最小调和函数及其极点228

6.引理4的推广229

7.非最小Martin边界点集230

8.最小Martin边界点集上的约化231

9.Martin表示231

10.Martin边界的可解性234

11.Martin边界点处的极小薄性236

12.极小细拓扑238

13.定理X1.4(c)与(d)的第一个Martin边界对应结果241

14.定理X1.4(c)的第二个Martin边界对应结果242

15.最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限244

16.最小Martin边界点上的极小细拓扑极限与Martin拓扑极限(续)245

17.极小细Martin边界极限函数245

18.位势的细边界函数247

19.Martin空间的Fatou边界极限定理248

20.关于RN中-球上的相对上调和函数的经典边界极限定理与极小细拓扑边界极限定理250

21.在半空间边界的非切线方向极限与极小细极限252

22.半空间的法向边界极限252

23.半空间上的位势的边界极限函数(极小细与法向的)254

第ⅩⅢ章 经典能量和容度256

1.物理背景256

2.测度及其能量257

3.负荷及其能量258

4.位势不等式及对应的能量不等式259

5.函数D→GDμ260

6.能量的经典赋值;Hilbert空间方法261

7.能量泛函(关于RN的任一Green子集D)264

8.定理7(b+)的另一证明266

9.引理4的加强268

10.经典容度函数268

11.内容度和外容度(第10节的记号)271

12.平衡位势的极值性质特征表示(第10节的记号)272

13.C(A)的表达式274

14.Gauss极小问题及其与约化的关系275

15.C?对D的依赖279

16.与R2相关的能量280

17.Wiener薄性判别准则282

18.Robin常数及与R2相关的平衡测度(N=2)284

第ⅩⅣ章 一维位势理论289

1.引言289

2.调和、上调和与次调和函数289

3.收敛定理289

4.上调和函数和次调和函数的光滑性质290

5.Dirichlet问题(Euclid边界)291

6.Green函数291

7.测度的位势292

8.定义位势的测度的识别293

9.Riesz分解294

10.Martin边界294

第ⅩⅤ章 抛物型位势理论:基本事实296

1.约定296

2.抛物型算子与共抛物算子297

3.共抛物型多项式298

4.?N上的抛物型Green函数300

5.抛物型函数的最大最小值定理302

6.Green定理的应用304

7.光滑区域的抛物型Green函数;Riesz分解与抛物型测度(形式的处理)305

8.区间上的Green函数307

9.区间的抛物型测度309

10.抛物型平均310

11.抛物型情形的Harnack定理312

12.上抛物型函数313

13.上抛物型函数最小值定理315

14.运算?与上抛物型函数平均性质的解释316

15.柱体上的上抛物型函数与抛物型函数318

16.Appell变换319

17.定义于柱体上的抛物型函数的扩张320

第ⅩⅥ章 平板上的次抛物型、上抛物型与抛物型函数322

1.平板上的抛物型Poisson积分322

2.广义上抛物型函数不等式324

3.次抛物型函数上确界准则325

4.正抛物型函数恒等于零的一个边界极限准则326

5.正抛物型函数可用Poisson积分表示的条件327

6.平板上的抛物型函数类L1(?-)与D(?-)328

7.抛物型边界极限定理330

8.平板上的最小抛物型函数331

第ⅩⅦ章 抛物型位势理论(续)333

1.最大弱函数与最小强函数333

2.抛物型基本收敛定理(初步的描述)与约化运算333

3.抛物型情形的约化运算334

4.抛物型Green函数336

5.位势340

6.位势的光滑性342

7.Riesz分解定理345

8.抛物型极集345

9.抛物型细拓扑348

10.半极集350

11.约化性质的初步列举351

12.抛物型薄性准则354

13.抛物型基本收敛定理355

14.基本收敛定理在约化和Green函数上的应用357

15.基本收敛定理在抛物型细拓扑上的应用358

16.抛物型约化性质359

17.16节中约化性质的证明362

18.经典Green函数用抛物型Green函数的表示(N≥1)368

19.拟Lindelō?性371

第ⅩⅧ章 抛物型Dirichlet问题、扫除及例外集372

1.抛物型情形的相对化与PWB方法372

2.?-抛物型测度375

3.抛物型壁377

4.经典Dirichlet问题和抛物型Dirichlet问题之间的关系378

5.抛物型情形的经典约化379

6.边界点的抛物型规则性381

7.用细拓扑描述规则性385

8.抛物型情形的扫除385

9.?的扩张?与?时的抛物型平均?(?,?(·,?))387

10.?的条件390

11.抛物型极集与共抛物型极集392

12.抛物型半极集与共抛物型半极集393

13.扫除测度的支集395

14.一个内极限定理;上抛物型函数的共抛物型细拓扑光滑性396

15.应用于平板上抛物型情形的Fatou边界极限定理的描述403

16.抛物型情形的控制原理404

17.上抛物型函数在其定义域的抛物型非规则边界点的极限405

18.Martin平坦点集对408

19.抛物型情形的格与相关函数类409

第ⅩⅨ章 抛物型情形的Martin边界410

1.引言410

2.Martin点集和测度集对的Martin函数411

3.Martin空间?413

4.抛物型情形Martin表示定理的预备415

5.最小抛物型函数及其极点417

6.非最小Martin边界点集418

7.抛物型情形的Martin表示418

8.平板?=?N×]0,δ[,0<δ≤±∞,的Martin边界419

9.?N的下半空间与?N的Martin边界422

10.?=]0,+∞[×]-∞,δ[的Martin边界423

11.?M上的?WB?解425

12.抛物型情形的极小细拓扑426

13.定理XUII1.24(f)的边界对应物428

14.?M?上位势消失为0429

15.Martin空间上的抛物型Fatou边界极限定理430

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