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序言1

前言1

第一章预备知识1

1 拓扑空间1

1． 开集和闭集1

2． 闭包和边界2

3． 诱导拓扑2

4． 可数空间2

5． 可数空间3

6． 连通空间3

7． 全不连通点集3

9． 局部紧致空间4

8． 紧致空间4

10． Hausdorff空间5

11． Baire范畴集5

12． 商空间5

13． Alexandroff 紧致化6

14． 和空间6

15． 乘积空间6

16． 距离空间7

2 连续映照8

1． 映照8

2． 连续映照8

3． 拓扑映照9

4． 一维空间上的非连续开映照的例子9

3． 弧连通空间11

2． Jordan曲线11

1． 弧11

3 弧曲线11

第二章曲面拓扑12

1 曲面的基本群12

1． 流形的基本概念12

2． 同伦弧13

3． 基本群13

4． 单连通14

5． 曲线的指数15

6． 曲线的指数的连续性16

7． 曲线的指数的形变下的不变性16

8． Jordan曲线定理17

9． 穿孔平面的基本群20

11． 曲面的可定向性21

10． 映照的度数21

12． 镶边曲面22

2 覆盖面24

1． 光滑覆盖面24

2． 射影、弧的提升24

3． 正则覆盖面25

4． 单值性定理25

5． 分支覆盖面27

6． 完全覆盖面28

7． 覆盖面的可数性31

3 覆盖面的基本群32

1． 正则覆盖面与基本群的关系32

2． 子群对应的覆盖面33

3． 子群与其对应的覆盖之基本群的同构34

4． 偏序35

6． 正则覆盖面的覆盖变换36

5． 万有覆盖面36

7． 正规覆盖面37

8． 换位子群37

9． 分支覆盖映照的局部性质38

10． 覆盖面的定向39

第三章Riemann曲面40

1 Riemann曲面 的概念40

1． Riemann曲面的定义40

2． Riemann曲面 的子区域43

3． 镶边Riemann曲面43

4． 镶边曲面的双倍面44

5． Riemann曲面 的亏格45

6． 解析映照45

7． 共变量46

8． 单位分解48

9． Dirichlet积分49

10． Green公式50

2 调和函数与Harnack原理52

1． 调和函数的定义52

2． 调和函数的极值原理53

3． Poisson积分54

4． Laplace方程、调和函数的等价定义57

5． 共轭调 和函数59

6． Harnack原理60

7． Harnack原理的一般形式62

8． Dirichlet原理64

3 半调和函数与Dirichlet问题70

1． 半连续函数70

2． 上、下调和函数及其最佳调和优、劣函数71

3． 半调和函数的平均值性质73

4． 半调和函数的极值原理75

5． 上、下函数78

6． Dirichlet 问题、Perron方法80

7． 正则点82

8． 可数基及穷尽列的存在86

4 Green 函数89

1． 相对紧区域上的Green函数89

2． 开Riemann曲面的Green函数93

3． Green函数的理想边界取值96

4． Riemann 映照定理96

5． 调和测度、理想边界的调和测度97

6． Dirichlet解的Green函数之积分表示99

7． 混合边界条件的Dirichlet问题之解102

1． 下调和函数109

第四章位势理论109

1． 下调和函数的逼近定理109

2． 与Laplace算子相关的等价的定义112

3． 逼近定理113

2 对数位势116

1． 对数位势116

2． 几个引理117

3． F． Riesz分解定理119

4． 最大值原理124

5． 容量126

3 Evans位势133

1． 导体位势的基本性质133

2． 超限直径137

3． Evans定理141

1． 连续半调和函数的最大值原理144

4 容量与扫除144

2． 零容集关于调和函数的可去性145

3． 正容量集147

4． 容量与Green 函数存在之关系149

5． 映照半径152

6． 单位圆周上容量为1的真子集155

7． 扫除156

8． 扫除的唯一性158

第五章曲面上的函数族159

1 Riemann曲面上的函数论零集159

1． 函数类及其相关的记号159

2． 与连续统、全不连通集相关的两个引理160

3． 可去集162

4． 共变量MF165

5． 紧致函数类166

6． 几种特殊函数类167

7． NP零类集与可去集的等价性168

8． 极值长度168

9． 弧链族之间极值长度的关系170

10． 矩形、圆环内链族的极值长度171

11． 周界长与不变量MSB、MSD173

12． 线性集的可去性174

13． AD-可去集的特征176

2 半纯函数及其产生的覆盖面177

1． 半纯函数的大范围聚值集177

2． 半纯函数的价函数178

3． Stoilow紧致化179

4． 半纯函数的渐近值181

5． 半纯函数的大范围聚值集与价函数的关系183

6． Iversen性质185

7． 关于Iversen性质 的Stoilow原理186

3 修正Green函数189

1． 双极调和函数189

2． 基本引理192

3． 修正Green函数195

4． 双对数奇性的位势函数197

5． Poincare定理200

4 平面型Riemann曲面的共形映照202

1． 调和函数和解析函数延拓的Schwarz对称原理202

2． 平面型区域与复球面子区域共形同胚203

3． 多连通区域的调和测度205

4． 多连通区域与同心圆弧裂缝环域共形同胚207

5． 多连通区域与平行裂缝区域共形同胚209

6． 单值化定理212

1． 带极点的位势函数214

5 Riemann-Roch定理214

2． 互反关系218

3． 因子式221

4． Ricmnn-Roch定理222

第六章非紧Riemann曲面的延拓228

1 Fuchs 群228

1． 真不连续群228

2． 单位圆盘上的非欧度量229

3． Fuchs 群及其基本区231

4． Fuchs 群的类型233

5． Fuchs 群的等价点的分布235

6． Fuchs 群的基本区对应的Riemann曲面237

7． Fuchs 群对应的Green函数238

1． Ricmann曲面上半纯函数的存在性239

2 自守函数239

2． 不与开单位圆盘共形同胚的万有覆盖面240

3． 复平面映上自身的共形变换群241

4． Fuchs 群对应的Poincare?级数245

3． 开Ricmann曲面的延拓247

1． 极大Ricmann曲面的概念247

2． Ricmann曲面极大延拓的存在性247

3． 极大Ricmann曲面的性质250

4． 极大Ricmann曲面的判别251

5． 开Ricmann曲面的延拓方法252

4 非紧极大镶边Riemann 曲面255

1． 镶边Riemann 曲面 延拓的概念255

2． 曲面的可延拓性与修正价函数的关系256

3． 半纯函数的渐近点258

4． 极大镶边Riemann 曲面 的理想边界性质259

5． 一个极大开Riemann 曲面 的例子261

6． 本性极大Riemann 曲面262

第七章Riemann曲面的分类264

1 OG类开Riemann曲面264

1． 零类Riemann曲面的包含关系264

2． 相对理想边界的调和测度265

3． OG类曲面子域的调和函数的最大值原理267

4． OG类和非OG类曲面的覆盖面271

5． OG类曲面的可正则穷尽性272

6． U-类函数274

2 Dirichlet积分有限有函数276

1． 相对子域类与曲面分类的关系276

2． 相对曲面类SOHB和SOHD277

3． OAOB和OAOD类曲面280

4． OHD和OHBD类曲面281

5． 与零容集等价的可去点集282

6． 通量283

7． 主函数284

8． 算子L0和L1287

9． 零容集的HD-可去性288

10． 复球面上的AD-可去点集290

11． 复球面上的AB-可去点集291

12． 有限亏格开Riemann曲面的可去理想边界291

3 Lindelof 性质293

1． 具有Lindelof 性质的曲面类293

2． 关于OAOD类曲面的修正Stoilow原理及其逆299

3． OAOD类曲面的本性极大性301

1． 单叶OAD 类区域上的半纯函数302

4 开Riemann曲面分类的几种判别法302

2． 棋度判别法303

3． 共形度量判别法307

4． 正则链判别法309

5． 作为复球面覆盖面时的判别312

5 严格包含关系314

1． OAD＼OAB曲面的存在性314

2． 广义Cantor集314

3． 一般广义Cantor集316

4． Mybreg,P.J的例子317

5． Toki，Y的例子317

6． Kuroda，M的例子320

7． Heins，M的例子321

参考文献323

名词索引325