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第一章曲线论初步1

§1．曲线和曲线方程1

§2．切线和密切平面3

§3．曲线的自然参数和相伴三面形6

目 录7

序7

§4．关于正交三脚形的预备定理和谢列－佛锐耐公式7

§5．螺旋线和圆周9

第二章张量代数初步12

§6．平面仿射坐标系12

§7．数性积和协变坐标14

§8．斜积和余向量16

§9．张量的概念19

§10．张量代数的基本运算23

§11．二价对称张量30

§12．张量的收缩35

第三章曲面和曲面的切平面37

§13．曲面和曲面的参数化37

§14．曲面的切线和切平面41

§15．曲面族的包络44

§16．可展曲面48

§17．同空间曲线有关的可展曲面51

第四章曲面的第一二次形式56

§18．局部坐标系和曲面的度量张量56

§19．线性元素和曲面的贴合58

§20．曲面上曲线的交角和保角映像61

§21．曲面上的曲线族．正交轨线和网63

§22．曲面面积．等面对应65

§23．法曲率和第二二次形式69

第五章曲面的第二二次形式69

§24．麦尼埃定理71

§25．第二二次形式的张量和它的不变量74

§26．曲面上点的分类76

§27．共轭方向和共轭网82

§28．渐近曲线85

§29．曲率线87

第六章旋转曲面及其推广90

§30．旋转曲面和旋转曲面的扭曲90

§31．旋转曲面的第二二次形式92

§32．特殊旋转曲面94

§33．螺旋面99

§34．曲纹曲面100

§35．管道形曲面102

§36．直纹面的线性元素和切平面103

第七章直纹面和直线汇103

§37．作为直纹面的可展曲面104

§38．相伴点和腰点106

§39．分布参数107

§40．直纹面的渐近曲线108

§41．直线汇和它的基本二次形式110

§42．线汇的可展曲面和焦曲面112

§43．法线汇114

第八章 曲面上向量埸和张量埸116

§44．数量埸116

§45．向量埸的旋度118

§46．向量塌的发散量121

§47．拉普拉斯塌，调和函数和等温坐标122

§48．高斯导数公式126

§49．向量的平行移动128

§50．绝对微分法和协变微分法132

§51．协变导数136

§52．向量塌的基本微分方程139

第九章测地曲率与测地线146

§53．测地曲率146

§54．测地线148

§55．测地塌151

§56．测地－等温塌154

§57．测地－平分线埸155

§58．李乌维尔曲面156

§59．旋转曲面的测地线160

§60．测地塌曲线的切线汇160

§61．温卡尔顿曲面163

第十章网论初步165

§62．向量埸的相伴点165

§63．网的相伴直线和车彼雪夫向量167

§64．柯达齐网170

§65．正交网171

§66．测地网172

§67．车彼雪夫网173

§68．移动曲面175

§69．等路网177

§70．迷向方向与迷向网179

第十一章曲面的映像181

§71．可微分对应的一般性质181

§72．曲面的保角对应183

§73．平面的保角对应187

§74．反演190

§75．球极平面射影195

§76．测地对应197

§77．球面映像202

§78．高斯定理209

第十二章 总曲率看作是曲面内蕴几何的不变量209

§79．高斯－波恩奈定理213

§80．关于多连通区域和闭曲面的高斯－波恩奈定理215

§81．协变微分运算顺序的变换218

§82．彼得松定理221

§83．扭曲方程225

§84．旋转曲面的总曲率227

第十三章定曲率曲面229

§85．定曲率曲面上的测地－等温埸229

§86．定曲率曲面的线性元素和它们的可贴合性230

§87．伪球面上的测地线和测地线束232

§88．伪球面的内蕴几何240

§89．定曲率曲面的测地线242

§90．面积最小的曲面245

第十四章极小曲面245

§91．伴随曲面246

§92．许华兹公式247

§93．极小曲面的球面映像和扭曲249

§94．维尔斯特拉斯公式251

第十五章三重正交曲面系254

§95．空间的曲线坐标254

§96．三重正交曲面系258

§97．拉乜条件260

§98．共焦二次曲面262

§99．有心二次曲面上的椭圆坐标265

参考文献268

名词索引269

人名索引277

符号索引279