《拟共形映射及其在黎曼曲面论中的应用》

第一章共形模与极值长度1

1 拓扑四边形的共形模1

1.1 拓扑四边形的概念1

1.2 拓扑四边形的共形等价类2

1.3 拓扑四边形的共形模3

2 双连通区域的共形模4

2.1 双连通区域的典型区域4

2.2 双连通区域的共形模6

3 极值长度7

3.1 极值长度的一般概念7

3.2 比较原理与合成原理9

4 极值长度与模的关系11

4.1 用极值长度描述拓扑四边形的模11

4.2 Rengel 不等式13

4.3 极值度量14

4.4 模的单调性与次可加性15

4.5 模的连续性17

4.6 双连通域的模与极值长度18

5 模的极值问题21

5.1 双连通区域模的极值问题的提法21

5.2 Gr?tzsch 极值问题21

5.3 Teichm?ller 极值问题22

5.4 Mori (森)极值问题25

5.5 函数μ(r)27

第二章拟共形映射的基本性质29

6 经典拟共形映射29

6.1 形式微商29

6.2 可微同胚的复特征与伸缩商30

6.3 经典拟共形映射的定义31

6.4 Beltrami 方程32

6.5 复合映射的复特征与伸缩商33

6.6 四边形的模在经典拟共形映射下的变化34

6.7 最大伸缩商与 Gr?tzsch 问题35

7 一般拟共形映射的几何定义37

7.1 K 拟共形映射37

7.2 保模映射38

7.3 在拟共形映射下双连通域的模的拟不变性39

8 K 拟共形映射的紧致性40

8.1 K-q·c·映射的正常族40

8.2 K-q·c·映射序列的极限42

9 拟共形映射的分析性质44

9.1 线段上的绝对连续性44

9.2 可微性46

9.3 广义导数50

9.4 绝对连续性56

10 拟共形映射的分析定义58

10.1 拟共形映射的分析定义58

10.2 拟共形映射作为 Beltrami 方程的广义同胚解60

第三章拟共形映射的存在性定理62

11 两个积分算子62

11.1 积分算子 T(ω)62

11.2 Pompeiu 公式64

11.3 Hilbert 变换66

11.4 T(ω)的偏导数68

11.5 关于算子 H 的范数69

12 存在性定理74

12.1 奇异积分方程74

12.2 Beltrami 方程的同胚解74

13 表示定理与相似原理79

13.1 表示定理79

13.2 相似原理80

13.3 边界对应定理及唯一性定理82

13.4 拟共形映射的 H?lder 连续性83

13.5 拟共形延拓83

13.6 拟共形映射的 Riemann 映射定理84

13.7 全平面上给定复特征的映射85

13.3 规范拟共形映射对参数的依赖性87

第四章偏差定理89

14 Poincar? 度量与模函数89

14.1 单位圆上的 Poincar? 度量89

14.2 穿孔球面的 Poincar? 度量91

14.3 椭圆模函数93

15 几个偏差定理98

15.1 圆盘的拟共形映射的偏差98

15.2 森定理99

15.3 平面拟共形映射的偏差101

15.4 圆周的偏差105

第五章拟圆周111

16 拟圆周与拟共形反射111

16.1 拟圆周的概念111

16.2 拟共形反射112

16.3 共形映射的粘合113

17 边界值问题114

17.1 拟共形映射的边界值114

17.2 Beurling-Ahlfors 定理115

17.3 Beurling-Ahlfors 扩张的拟保距性118

18.1 有界折转的概念120

18.2 拟圆周的有界折转性120

18 拟圆周的几何特征120

第六章解析函数的单叶性与拟共形延拓125

19 Schwarz 导数与 Nehari 定理125

9.1 Schwarz 导数125

9.2 单叶函数的 Schwarz 导数127

9.3 区域的单叶性外径128

20 Schwarz 区域130

20.1 Schwarz 区域的定义130

20.2 单位圆的单叶性内径131

20.3 单位圆内解析函数的拟共形延拓134

20.4 拟圆是 Schwarz 区域135

20.5 局部连通性142

20.6 Schwarz 区域是拟圆145

21 万有 Teichm?ller 空间146

21.1 定义146

21.2 T 空间的连通性149

21.3 T 到 A(L)的嵌入149

21.4 万有 Teichm?ller 空间与单叶函数153

第七章Riemann 曲面上的拟共形映射156

22 Riemann 曲面156

22.1 基本概念156

22.2 基本群与覆盖曲面157

22.3 单值化定理160

22.4 闭 Riemann 曲面162

22.5 微分形式与 Riemann-Roch 定理162

22.6 分式线性变换群164

23 Riemann 曲面上的拟共形映射165

23.1 定义与基本概念165

23.2 拟共形映射的提升167

23.3 同伦映射的提升169

24 拟 Fuchs 群与同时单值化定理172

24.1 拟 Fuchs 群172

24.2 同时单值化定理173

第八章闭 Riemann 曲面上的极值问题177

25 半纯二次微分177

25.1 若干基本概念177

25.2 二次微分所诱导的度量183

25.3 全纯二次微分所组成的线性空间190

26 Teichm?ller 唯一性定理191

26.1 Teichm?ller 极值问题191

26.2 Teichm?ller 形变194

26.3 Teichm?ller 映射197

26.4 唯一性定理199

27.1 标记 Riemann 曲面204

27 Teichm?ller 存在性定理204

27.2 存在性定理212

第九章Riemann 曲面的模问题与 Teichm?ller 空间218

28 Riemann 曲面的模问题218

28.1 Riemann 曲面的模218

28.2 模群220

29 Teichm?ller 度量221

29.1 Teichm?ller 度量的定义221

29.2 Teichm?ller 度量的完备性226

29.3 模变换的保距性226

30.2 若干引理227

30 模群的间断性227

30.1 长度谱的概念227

30.3 紧曲面的长度谱的离散性232

30.4 由长度谱确定 Riemann 曲面233

30.5 模群作用的间断性237

30.6 R? 是 Hausdorff 空间240

第十章有限型 Riemann 曲面上的极值问题241

31 有限型 Riemann 曲面241

31.1 基本概念241

31.2 允许二次微分242

32.1 (g,n)型曲面的情况244

32 有限型曲面的 Teichm?ller 定理244

32.2 (g,n,m)(m≠0)型曲面的情况247

32.3 有限型曲面的 Teichm?ller 空间249

第十一章Bers 有界嵌入定理253

33 Bers 嵌入253

33.1 Tg 空间的几个模型253

33.2 Fuchs 群的 Teichm?ller 空间257

33.3 Bets 嵌入的定义258

33.4 Bers 嵌入定理259

34 Bers 纤维空间264

34.1 全纯族的概念与 Bets 纤维空间264

34.2 Bets 定理265

第十二章开 Riemann 曲面上的极值问题269

35 圆盘上的 Teichm?ller 映射269

35.1 二次微分的边界性质269

35.2 主要不等式273

35.3 具有给定边界对应的拟共形映射的极值问题276

35.4 极值映射的充要条件279

35.5 极值 Teichm?ller 映射的存在性284

36 Hamilton 定理288

36.1 模边界同伦288

36.2 Hamilton 定理的叙述与推论290

36.3 Hamilton 定理的证明291

参考文献300