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第一章广义函数的定义和例子1

1.1 从δ函数谈起1

1.2 试验函数空间3

1.2.1 ？-具紧支集的C∞函数空间4

1.2.2 ？m-m次连续可微的具紧支集的函数空间5

1.2.3 空间？s和？6

1.2.4 空间Cm和C∞6

1.2.5 急降函数空间？6

1.2.6 各种试验函数空间的关系7

1.2.7 稠密性定理12

1.3 广义函数的定义12

1.3.1 施瓦兹广义函数空间？′，支集13

1.3.2 单位分解14

1.3.3 广义函数的支集的特征性质15

1.3.4 用支集表征的零广义函数的特性16

1.3.5 广义函数的局部性16

1.3.6 紧支集广义函数空间(C∞)′16

1.3.8 阶≤m的紧支集的广义函数空间(Cm)′17

1.3.7 阶≤m的广义函数空间(？m)′17

1.3.9 缓增广义函数空间？′18

1.3.10 只需考虑实值试验函数18

1.3.11 广义函数的实部和虚部18

1.4 广义函数的例子18

1.4.1 普通函数作为广义函数18

1.4.2 δ函数19

1.4.3 拉冬测度空间(？o)′19

1.4.4 广义函数x-120

1.4.5 通过取阿达玛有限部分定义的广义函数x？21

1.4.6 广义函数x？，|x|λ，|x|λsgnx24

1.4.7 R1上的函数不是广义函数的例子25

1.4.8 由奇异积分定义的广义函数26

1.4.9 不连续的线性泛函28

第二章广义函数的极限和导数29

2.1 广义函数的极限29

2.1.1 各种广义函数空间的完备性29

2.1.2 缓增和紧支集广义函数都是有限阶的37

2.2 广义函数的极限的例子39

2.2.1 在紧集上一致收敛的连续函数序列39

2.2.2 局部可积函数的受控收敛40

2.2.3 广义函数ln(x+i0)和ln(x-i0)42

2.2.4 δ-序列44

2.3 广义函数的导数49

2.3.1 若T∈(？)′，则？∈(？)′50

2.3.2 若T∈(Cm)′，则？∈(Cm+1)′50

2.3.3 若T∈？′，则？∈？′50

2.3.4 收敛的广义函数级数可以逐项求导数51

2.4.1 海维赛函数的导数是δ函数52

2.4.2 δ函数的导数52

2.4 广义函数的导数的例子52

2.4.3 lnx+的导数是x？53

2.4.4 ln|x|的导数是x-153

2.4.5 ln(x+i0)的导数53

2.4.6 x？的导数是λx？，当λ≠负整数53

2.4.7 x？的导数(x？)=-nx？+？δ(n)(x)54

2.4.8 x-n的导数(x-n)′=-nx-n-155

2.4.9 广义函数(x+i0)λ和(x-i0)λ及其导数55

2.4.10 n≥3时，△r2-n=？δ56

2.4.11 n=2时，△lnr=2πδ62

3.1 广义函数的直积66

第三章直积、卷积和原函数66

3.2 广义函数的原函数72

3.3 广义函数的卷积76

3.3.1 勒贝格可积函数的卷积76

3.3.2 任意广义函数与紧支集广义函数的卷积的定义与可交换性77

3.3.3 卷积的连续性79

3.3.4 广义函数与C∞函数的卷积80

3.3.5 广义函数用C∞函数逼近84

3.3.6 卷积的导数84

3.3.7 卷积的结合律85

3.3.8 卷积的支集86

3.3.9 卷积的奇异支集86

3.4 柯西-黎曼方程的广义函数解88

第四章缓增广义函数的傅里叶变换92

4.1 空间？的傅里叶变换92

4.2 空间？′的傅里叶变换97

4.3 紧支集广义函数的傅里叶变换100

4.4.3 卷积的傅里叶变换103

4.4.2 Φ的乘子与Φ-广义函数的乘积103

4.4.1 试验函数空间的乘子103

4.4 乘积和卷积的傅里叶变换103

4.5 对常系数微分方程的应用105

4.5.1 拉普拉斯方程的缓增广义函数解105

4.5.2 拉普拉斯算子的缓增广义特征函数109

4.5.3 常系数微分方程的基本解109

第五章带参数的广义函数111

5.1 带参数的广义函数的一般理论111

5.2.1 x？和x？/Γ(λ+1)，λ∈？，x∈R1117

5.2 带参数的广义函数的例子117

5.2.2 x？和x？/Γ(λ+1)，λ∈？，x∈R1120

5.2.3 |x|λ，|x|λ/Γ(？)，|x|λsgnx和|x|λsgnx/Γ(？)120

5.2.4 x？lnkx+和x？lnkx_，λ∈？，k非负整数，x∈R1121

5.2.5 |x|λlnk|x|和|x|λlnk|x|sgnx,λ∈？，k非负整数，x∈R1122

5.2.6 rλ，λ∈？，r=？123

5.2.7 rλlnkr，λ∈？，k=1，2，131

5.3 多重拉普拉斯方程的基本解132

第六章单变量广义函数的解析表示135

6.1 解析表示的定义和紧支集广义函数的柯西表示135

6.2 解析表示的存在性137

6.3 解析表示的特征性质141

6.4 解析微分算子对解析表示的作用150

6.5 解析表示的例子和反例154

6.5.1 反例154

6.5.2 δ函数和它的导数的柯西表示155

6.5.3 广义函数δ+和δ_155

6.5.4 广义函数(x+i0)λlnk(X+i0)和(x-i0)λlnk(x-i0)156

6.5.5 (x±i0)λ对λ和对x的导数157

6.5.7 λ≠整数时，x？和x？的解析表示158

6.5.6 ln(x+i0)和ln(x-i0)的导数158

6.5.8 n是整数时，x？和x？的解析表示159

6.5.9 海维赛函数的解析表示161

6.5.10 x？lnkx+和x？lnkx-的解析表示，λ≠整数162

6.5.11 x？lnkx+和x？1lnkx_的解析表示，n是整数162

6.5.12 lnx+和lnx_的解析表示167

6.5.13 ln2x+和ln2x_的解析表示167

6.5.14 λ≠整数时，|x|λ和|x|λsgnx的解析表示168

6.5.15 |x|n和|x|nsgnx的解析表示168

6.5.17 xn和(x+i0)n，(x-i0)n的关系169

6.5.16 xn的解析表示169

6.5.18 xn的导数170

6.5.19 x-n和δ+，δ-的关系170

6.5.20 有理函数作为广义函数及其解析表示171

6.6 解析表示在实轴附近的性状172

6.7 局部解析表示178

6.7.1 P？的局部解析表示系179

6.7.2 亚纯函数作为广义函数及其局部解析表示系181

7.1 拉普拉斯方程的广义解183

第七章广义函数的调和表示183

7.2 广义极限与调和延拓185

7.3 广义极限和解析延拓195

7.4 单变量广义函数的调和表示和解析表示的关系199

7.5 调和函数的泰勒级数202

7.6 调和表示的存在性207

7.6.1 紧支集广义函数的泊松表示207

7.6.2 Rn上任意广义函数的调和表示212

7.7 调和表示的特征性质215

7.8.2 δ函数的导数的调和表示223

7.8.1 广义函数的导数的调和表示223

7.8 调和表示的例子223

7.8.3 (x？+x？)-1/2的调和表示224

7.8.4 (x？+x？+x？)-1/2的调和表示224

7.8.5 整函数的调和表示226

7.8.6 多项式的调和表示230

7.8.7 调和函数和广义函数的直积的调和表示231

7.9 广义函数的局部结构231

第八章广义函数在一点的阶236

8.1 在开集上的阶237

8.2 在一点的阶239

8.3 单变量广义函数的阶的判定241

8.4 单变量m阶广义函数的m阶点的集合250

8.5 阶≤m的单变量广义函数的分解256

8.6 比较单变量广义函数的阶的两种定义264

第九章广义函数的乘法267

9.1 调和乘法作为乘子乘法的推广269

9.2 单变量广义函数的调和乘积的例子276

9.3 关于单变量广义函数的调和乘积的一个定理281

参考文献293