《解析函数边值问题》

第一章 Cauchy型积分1

1 Cauchy型积分的意义1

1.1 Cauchy型积分的定义1

1.2 分区全纯函数4

2 Plemelj公式6

2.1 Cauchy主值积分6

2.2 曲线上弧长与弦长的关系9

2.3 H？lder条件13

2.4 Cauchy主值积分存在的一个充分条件18

2.5 Plemelj公式19

3 Cauchy型积分边值的性质24

3.1 ИpивaЛoв定理24

3.2 Cauchy型积分边值的导数31

4 核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题32

4.1 核密度带参数的Cauchy主值积分32

4.2 积分换序问题38

4.3 Cauchy主值积分反演公式44

5 无穷直线上的Cauchy型积分48

5.1 ？类48

5.2 实轴上的Cauchy型积分及其性质49

6.1 全纯函数边值的条件53

6 解析函数边值的条件53

6.2 亚纯函数边值的条件56

7 高阶奇异积分和留数定理的推广58

7.1 Cauchy定理的推广58

7.2 高阶奇异积分61

7.3 留数定理的推广66

第二章 封闭曲线情况下的基本边值问题74

1 引言74

1.1 Riemann边值问题的提法74

1.2 跳跃问题及其解法75

2.1 齐次R问题与指标概念77

2 齐次Riemann边值问题77

2.2 齐次R问题的解法--简单情况78

2.3 典则函数80

2.4 齐次R问题的解法--一般情况81

3 非齐次Riemann边值问题83

3.1 非齐次R问题的求解83

3.2 相联R问题85

4 无穷曲线上的Riemann边值问题87

4.1 实轴上的R问题87

4.2 几点说明91

5.1 齐次问题92

5 非正则型的Riemann边值问题92

5.2 非齐次问题94

6 Hilbert边值问题96

6.1 问题的提法96

6.2 单位圆内的函数在圆外的对称扩张97

6.3 单位圆的H问题99

6.4 半平面中的H问题105

7 复合边值问题109

7.1 复合边值问题的提法与转化109

7.2 RH问题的求解112

8.1 周期Riemann边值问题的提法与转化115

8 周期边值问题115

8.2 齐次PR问题118

8.3 非齐次PR问题123

8.4 周期Hilbert问题128

9 双周期Riemann边值问题134

9.1 椭圆函数134

9.2 双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法136

9.3 一般DR边值问题的解法139

10 双准周期的Riemann边值问题143

10.1 双准周期解析函数143

10.2 加法双准周期的R问题145

10.3 乘法双准周期的R问题146

第三章 封闭曲线情况下的奇异积分方程152

1 Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子152

1.1 一般概念152

1.2 奇异算子的性质154

2 特征方程及其相联方程的解法156

2.1 特征方程的解法156

2.2 特征方程的相联方程的解法159

2.3 特征方程的Noether定理161

3.1 奇异积分方程的正则化162

3 奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理162

3.2 Noether定理164

4 含周期核的奇异积分方程166

4.1 Hilbert核的奇异积分方程166

4.2 含ζ函数核的奇异积分方程173

5 一类奇异积分方程的直接解法178

5.1 引言179

5.2 求解的一般方法180

5.3 a(z)±b(z)无相同零点的正则型情况185

5.4 a(z)±b(z)无相同零点的非正则型情况188

5.5 a(z)±b(z)有相同零点的情况196

5.6 一些应用202

第四章 一般情况下的边值问题206

1 Cauchy型积分在端点附近的性质206

1.1 核密度属H类的情况206

1.2 H？类函数209

1.3 核密度属H？类时Cauchy型积分的性质212

1.4 核密度属H？类是Cauchy主值积分的性质217

1.5 积分路径具有结点的情况219

2.1 开口弧段上的R问题221

2 一般Riemann边值问题221

2.2 带结点曲线上的R问题227

2.3 相联R问题230

2.4 几种重要特殊情况231

3 间断系数的Hilbert边值问题236

3.1 单位圆情况236

3.2 半平面情况238

4 其它边值问题243

4.1 一般复合边值问题243

4.2 一般的PR问题246

4.3 开口弧段的DR问题251

4.4 开口弧段的QR问题261

1 特征方程及其相联方程272

1.1 特征方程272

第五章 一般情况下的奇异积分方程272

1.2 相联方程275

1.3 一般Cauchy主值积分的反演277

2 完全奇异积分方程279

2.1 正则化问题279

2.2 正则化方程的讨论282

2.3 一般情况下的Noether定理285

3.1 曲线带结点的Hilbert核奇异积分方程292

3 一般带周期核的奇异积分方程292

3.2 一般Hilbert核积分的反演294

3.3 实轴上的Hilbert核积分的反演305

3.4 修改的反演问题310

3.5 开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程319

4 方程具一阶奇异性解的情况323

4.2 Fredholm方程情况323

4.2 Cauchy核奇异方程情况326

4.3 特征方程及其相联方程的解328

1 函数组的Riemann边值问题334

1.1 一些记号与名称334

第六章 函数组的边值问题与奇异积分方程组334

1.2 齐次R问题化为Fredholm方程336

1.3 齐次R问题的典则解组339

1.4 齐次R问题的一般解与指标346

1.5 函数组的相联齐次R问题350

1.6 函数组的非齐次R问题353

2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题356

2.1 典则矩阵的一般表示356

2.2 函数组的齐次H问题358

2.3 函数组的非齐次H问题364

2.4 函数组的RH问题365

3 奇异积分方程组367

3.1 特征奇异积分方程组367

3.2 特征方程的相联方程371

3.3 完全奇异积分方程组及其正则化373

3.4 奇异积分方程组的Noether定理377

4 某些直接有效解法381

4.1 有理系数矩阵的R问题381

4.2 核与系数具解析性的奇异积分方程组384

4.3 解析核密度的奇异积分的反演387

1.1 分式线性变换群389

1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程389

第七章 其它问题389

1.2 与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题392

1.3 与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程396

2 带位移的边值问题和奇异积分方程401

2.1 带位移的Riemann边值问题401

2.2 保角粘合定理以及SR问题转化为R问题409

2.3 其他带位移的边值问题415

2.4 带位移的奇异积分方程424

3 卷积型线性方程组426

3.1 Laurent变换426

3.2 (A)型方程组427

3.3 (B)型方程组428

4 Cauchy主值积分的近似计算430

4.1 一个原则性方法430

4.2 Gauss-Chebyshev型求积公式432

4.3 用分段线性函数逼近Cauchy主值积分435

附录 有关Fredholm积分方程的结果438

1.Fredholm定理438

2. 预解核440

3.推广442

参考文献443

索引446