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第一章向量与矩阵代数1

引论1

1a.向量空间2

1a.1.向量空间和子空间的定义2

1a.2.向量空间的基底4

1a.3.线性方程组6

1a.4.具有内积的向量空间9

补充与问题12

1b.矩阵与行列式理论15

1b.1.矩阵运算15

1b.2.初等矩阵和矩阵的对角化19

1b.3.行列式25

1b.4.变换25

1b.5.矩阵的广义逆27

1b.6.向量空间、基底等的矩阵表现30

1b.7.幂等矩阵32

1b.8.矩阵的特殊积33

补充与问题34

1c.矩阵的特征值与矩阵的化简40

1c.1.二次型的分类和变换40

1c.2.行列式方程的根44

1c.3.矩阵的标准化46

1c.4.投影算子54

1c.5.g 逆的其他结果55

1c.6.限制特征值问题58

1d.向量空间的凸集59

1d.1.定义59

1d.2.凸集的分离定理59

1e.不等式62

1e.1.Cauchy-Schwarz(C-S)不等式62

1e.2.H？lder 不等式63

1e.3.Hadanmard 不等式64

1e.4.包含矩的不等式65

1e.5.凸函数与 jensen 不等式65

1e.6.信息论中的不等式67

1e.7.Stirling 逼近式68

1f.二次型的极值68

1f.1.一般结果68

1f.2.有关特征值与特征向量的一些结果71

1f.3.最小迹问题74

补充与问题77

第二章概率理论、工具与方法91

引论91

2a.概率计算92

2a.1.基本事件空间92

2a.2.子集(事件)类93

2a.3.作为集函数的概率93

2a.4.Borel 域(σ域)及概率测度的扩张96

2a.5.随机变量与分布函数的概念97

2a.6.多维随机变量102

2a.7.条件概率与统计独立性103

2a.8.随机变量的条件分布104

2b.随机变量的数学期望和矩106

2b.1.数学期望的性质106

2b.2.矩107

2b.3.条件期望110

2b.4.特征函数(c.f.)113

2b.5.反演定理118

2b.6.多元矩122

2c.极限定理123

2c.1.Kolmogorov 相容性定理123

2c.2.随机变量序列的收敛性125

2c.3.大数定律128

2c.4.分布函数序列的收敛性133

2c.5.中心极限定理144

2c.6.独立随机变量的和148

2d.概率测度族和统计量问题149

2d.1.概率测度族149

2d.2.充分统计量概念150

2d.3.充分性的特征150

附录2A.Stieltjes 积分与 Lebesgue 积分151

附录2B.测度论与积分论中的一些重要定理153

附录2C.不变性159

附录2D.统计量、子域和充分性160

附录2E.特征函数的非负定性163

补充与问题164

第三章连续概率模型177

引论177

3a.一元模型180

3a.1.正态分布180

3a.2.γ 分布186

3a.3.β 分布190

3a.4.Cauchy 分布191

3a.5.Student t 分布193

3a.6.统计力学中描述平衡状态的分布195

3a.7.圆上的分布198

3b.抽样分布202

3b.1.定义与结果202

3b.2.正态变量的平方和205

3b.3.样本均值与方差的联合分布206

3b.4.二次型分布208

3b.5.最小二乘理论的三个基本定理213

3b.6.p 元正态分布219

3b.7.指数分布族220

3c.对称正态分布222

3c.1.定义222

3c.2.抽样分布222

3d.二元正态分布227

3d.1.一般性质227

3d.2.抽样分布229

补充与问题235

第四章最小二乘理论与方差分析246

引论246

4a.最小二乘理论(线性估计)247

4a.1.Gauss-Markoff 结构(Y，χβ，σ2l)247

4a.2.正规方程和最小二乘(？.s.)估计249

4a.3.g 逆和正规方程的解251

4a.4.最小二乘(？.s.)估计的方差与协方差252

4a.5.σ2的估计253

4a.6.最小二乘理论的其它解法(几何解)255

4a.7.相关观测的显式256

4a.8.最小二乘理论的某些计算问题257

4a.9.约束参数的最小二乘估计258

4a.10.参数函数的联立估计260

4a.11.当参数是随机变量时的最小二乘理论261

4a.12.设计矩阵的选择262

4b.假设检验与区间估计264

4b.1.单参数函数(推断)264

4b.2.多参数函数(推断)265

4b.3.具有约束的结构269

4c.单个样本的问题270

4c.1.检验准则270

4c.2.左右腿股骨的不对称性(成对比较)270

4d.单向分类数据272

4d.1.检验准则272

4d.2.一个例子273

4e.双向分类数据274

4e.1.每格中有一个观测值274

4e.2.每格中有相同个数的多重观测值280

4e.3.每格中有个数不同的观测值282

4f.双向数据的一般模型与方差分量模型285

4f.1.一般模型285

4f.2.方差分量模型286

4f.3.一般模型的处理287

4g.统计回归的理论和应用291

4g.1.回归概念(一般理论)291

4g.2.附加联系的度量296

4g.3.头盖骨容量的预测(一个实际的例子)298

4g.4.回归方程的相等性检验309

4g.5.指定回归函数的检验312

4g.6.限制回归315

4h.具有两组参数的一般最小二乘问题316

4h.1.伴随变量316

4h.2.协方差分析316

4h.3.一个释例318

4i.线性估计的统一理论322

4i.1.广义逆的一个基本引理322

4i.2.一般的 Gauss-Markoff 模型(GGM)325

4i.3.逆分块矩阵(IPM)法326

4i.4.最小二乘的统一理论329

4j.方差分量估计332

4i.1.方差分量模型332

4j.2.MINQUE 理论332

4j.3.欧氏范数下的计算333

4k.线性模型中的有偏估计335

4k.1.最佳线性估计(BLE)335

4k.2.最佳线性最小有偏估计(DLIMBE)336

补充与问题338

第五章估计的准则与方法344

引论344

5a.最小方差无偏估计345

5a.1.最小方差准则345

5a.2.最小方差估计的一些基本结果347

5a.3.多参数的情形358

5a.4.Fisher 讯息测度361

5a.5.无偏估计量的改善365

5b.一般程序366

5b.1.一般问题的陈述(Bayes定理)366

5b.2.(θ,X)的联合分布函数完全已知367

5b.3.同等无知律369

5b.4.经验 Bayes 估计程序369

5b.5.置信概率372

5b.6.最小化最大原理373

5b.7.不变性原理376

5c.大样本中的估计准则378

5c.1.相合性378

5c.2.效率380

5d.大样本中一些估计法386

5d.1.矩法386

5d.2.最小 X2与相伴方法387

5d.3.最大似然法388

5e.多项分布的估计391

5e.1.非参数的情形391

5e.2.参数的情形395

5f.一般情况下的参数估计400

5f.1.假设与记号400

5f.2.最大似然方程估计量的性质401

5g.参数估计中的记分法403

补充与问题412

第六章大样本的理论及方法419

引论419

6a.一些基本结果419

6a.1.二次频率函数的渐近分布419

6a.2.一些收敛定理422

6b.多项分布的 X2检验429

6b.1.偏离简单假设的检验法429

6b.2.拟合优度的 X2检验430

6b.3.单个格子中的离差检验432

6b.4.参数是否落在一个子集内的检验434

6b.5.两个例子435

6b.6.多个格子中的离差检验437

6c.与多项分布的独立样本有关的检验437

6c.1.一般结果437

6c.2.平行样本的齐次性检验439

6c.3.一个例子440

6d.列联表442

6d.1.观测构形的概率与大样本中的检验442

6d.2.列联表的独立性检验444

6d.3.小样本中的独立性检验452

6e.大样本检验的某些普遍类456

6e.1.记号与基本结果456

6e.2.简单假设的检验458

6e.3.复合假设的检验459

6f.顺序统计量461

6f.1.经验分布函数461

6f.2.样本分位数的渐近分布464

6g.统计量的变换468

6g.1.一个普遍公式468

6g.2.Poisson 变量的平方根变换468

6g.3.二项比例的平方根的 sin-?变换470

6g.4.相关系数的 tanh-?变换473

6h.矩量及有关统计量的标准误差478

6h.1.原点矩的方差及协方差478

6h.2.中心矩的渐近方差与协方差478

6h.3.中心矩的方差与协方差的精确表示式479

补充与问题481

第七章统计推断的理论485

引论485

7a.统计假设的检验486

7a.1.问题的陈述486

7a.2.Neyman-Pearson 基本引理及其推广487

7a.3.简单的 H0 对简单的 H489

7a.4.局部最优检验496

7a.5.复合假设的检验499

7a.6.Fisher-Behrens 问题507

7a.7.检验的渐近效率508

7b.置信区间515

7b.1.一般问题515

7b.2.建立置信集合的一般方法515

7b.3.θ的函数的集合估计量518

7c.序贯分析519

7c.1.Wald 序贯概率比检验(S.P.R.T.)519

7c.2.序贯概率比检验的一些性质520

7c.3.序贯概率比检验的效率524

7c.4.序贯检验的经济性的一个例子527

7c.5.序贯分析的基本恒等式529

7c.6.序贯估计533

7c.7.具有功效1的序贯检验535

7d.鉴定问题——判决理论538

7d.1.问题的陈述538

7d.2.随机化与非随机化判决法则539

7d.3.Bayes 解540

7d.4.判别法则的完全类543

7d.5.最小化最大法则544

7e.非参数推断545

7e.1.稳健性概念545

7e.2.与分布无关的方法547

7e.3.一些非参数检验548

7e.4.随机化原理550

7f.辅助讯息554

补充与问题556

第八章多元分析564

引论564

8a.多元正态分布565

8a.1.定义565

8a.2.分布的性质567

8a.3.Np 的刻画法574

8a.4.多元正态分布的密度函数576

8a.5.参数估计578

8a.6.Np 作为具有最大熵的分布582

8b.Wishart 分布584

8b.1.定义与记号584

8b.2.Wishart 分布的一些结果586

8c.离差分析595

8c.1.多元量测的 Gauss-Markoff 结构595

8c.2.参数估计597

8c.3.线性假设的检验，离差分析(A.D.)600

8c.4.附加讯息检验605

8c.5.？的分布609

8c.6.维数的检验(结构关系)610

8c.7.具有结构参数的离差分布(增殖模型)615

8d.多元检验的一些应用617

8d.1.指定均值的检验617

8d.2.给定均值结构的检验620

8d.3.两个总体均值差异的检验621

8d.4.几个总体均值差异的检验626

8d.5.头盖特征的延续变化的 Barnard 问题628

8e.判别分析(鉴定)630

8e.1.为作判决而采用的判别记分630

8e.2.研究工作中的判别分析634

8e.3.复合假设之间的判别637

8f.随机变量组之间的关系640

8f.1.典型相关640

8f.2.典型变量的性质641

8f.3.公因子的有效个数643

8f.4.因子分析645

8g.随机分量的正交规格化基底645

8g.1.Gram-Schmidt 基底645

8g.2.主分量分析648

补充与问题651

参考文献662