《复变函数》

第一章 复数和复函数1

1.1 复数1

1.复数域1

前言页1

2.复数的几何表示2

3.球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面6

习题1.17

1.复变函数概念9

2.复变函数的极限与连接性9

1.2 复变函数9

3.同伦概念和区域的连通性11

4.幅角函数14

习题1.219

1.3 复数列和复级数21

1.复数列和复数项级数21

2.复函数列和复函数项级数22

习题1.322

第一章习题23

1.导数及其几何意义25

第二章 解析函数基础25

2.1 解析函数25

2.解析函数概念28

习题2.130

2.2 一些初等解析函数31

1.多项式和有理函数32

2.指数函数32

3.三角函数和双曲函数34

4.对数函数35

5.幂函数和根式函数38

6.多值函数分枝问题42

7.有理函数的对数46

8.有理函数的方根49

9.反三角函数和反双曲函数52

习题2.253

第二章习题54

第三章 复积分57

3.1 复积分概念57

1.复积分的定义及计算57

2.复积分的基本性质60

习题3.161

3.2 基本定理63

1.柯西积分定理63

2.原函数68

习题3.273

3.3 基本公式74

1.柯西积分公式74

2.柯西导数公式76

3.柯西不等式78

4.莫瑞勒(Morera)定理79

习题3.379

3.4 反常复积分81

1.反常复积分的定义81

2.柯西主值积分83

3.高阶奇异积分86

习题3.488

第三章习题89

1.复函数项级数的逐项积分和逐项求导91

4.1 一般理论91

第四章 解析函数的级数理论91

2.幂级数及其和函数92

习题4.195

4.2 泰勒展式及唯一性定理95

1.解析函数的泰勒展式95

2.解析函数的唯一性103

3.最大模原理105

习题4.2106

4.3 罗朗展式及孤立奇点108

1.解析函数的罗朗展式109

2.求罗朗展式的方法112

3.解析函数的孤立奇点116

4.整函数和亚纯函数123

习题4.3125

第四章习题127

第五章 留数理论129

5.1 留数及其计算129

1.留数概念130

2.无穷远点处的留数133

3.边界点的情形135

习题5.1137

5.2 留数定理及其推广138

1.留数定理138

2.推广的留数定理141

习题5.2144

5.3 应用于积分计算145

1.单值解析函数的应用146

2.多值解析函数的应用151

3.高阶奇异积分的应用158

习题5.3159

5.4 幅角原理和儒歇(Rouché)定理160

1.幅角原理161

2.儒歇定理163

习题5.4165

第五章习题165

第六章 解析开拓168

6.1 解析开拓的概念和方法168

1.基本概念168

2.透弧开拓169

3.幂级数开拓174

习题6.1178

6.2 完全解析函数及单值性定理180

1.完全解析函数和黎曼面180

2.单值性定理182

习题6.2186

第六章习题186

第七章 共形映照188

7.1 分式线性映照188

1.共形性189

2.映照群·不动点190

3.三对对应点决定分式线性映照191

4.保圆周及侧192

5.保对称点195

6.三个特殊的分式线性映照197

习题7.1201

7.2 共形映照的一般理论201

1.单叶解析函数的性质202

2.黎曼映照定理204

3.边界对应定理208

7.3 几个初等函数的映照210

习题7.2210

1.指数与对数函数映照211

2.幂函数映照212

3.儒可夫斯基(Жуковский)函数映照214

4.余弦函数映照217

习题7.3218

1.已知函数求映照区域220

2.已知对应区域求映照函数220

7.4 综合实例220

习题7.4232

第七章习题234

第八章 调和函数236

8.1 调和函数的概念及其性质236

1.调和函数与解析函数的关系236

2.极值原理239

3.波阿松(Poisson)公式及均值公式240

习题8.1242

2.波阿松积分的性质243

1.一般狄里克来问题243

8.2 狄里克来(Dirichlet)问题243

3.圆域上的狄里克来问题245

4.上半平面的狄里克来问题246

习题8.2247

8.3 许瓦兹(Schwarz)-克里斯多菲(Christoffel)公式248

习题8.3255

第八章习题256

9.1 解析函数的流体力学意义258

1.复环流258

第九章 解析函数在平面场中的应用258

2.复势260

3.源(汇)点、涡点261

4.偶极子263

习题9.1264

9.2 柱面绕流与机翼升力计算264

1.圆盘绕流264

2.一般截面绕流266

3.机翼升力计算268

习题9.2269