《实变函数论中的反例》求取 ⇩

第一章集合与映射1

1.集合运算中“消去律”不成立4

2.集合运算中“移项”法则不成立5

3.集合运算中“去括号”法则不成立5

4.差对于交的分配律不成立6

5.并对于差以及差对于并的分配律均不成立6

6.对称差对于交的分配律不成立7

7.并对于对称差以及对称差对于并的分配律均不成立7

8.[∞∪(n=1)An]\[∞∪(n=1)Bn]≠∞∪(n=1)(An\Bn) [∞∩(n=1)An]\[∞∩(n=1)Bn]≠∞∩(n=1)(An\Bn)7

9.∞∪(j=1) ∞∩(i=1)Eij≠∞∩(i=1) ∞∪(j=1)Eij8

10.非单调的收敛集列8

11.[∞∩(n=1) En]?[lim?(n→∞)En]?[lim(n→∞)En]?[∞∪(n=1)En]10

12.[lim？(n→∞)An]∪[lim？(n→∞)Bn]?[lim？(n→∞)(An∪Bn)]?[lim?(n→∞)An]∪[?lim(n→∞)Bn]?[?lim(n→∞)(An∪Bn)]10

13.[lim?(n→∞)(An∩Bn)]?[lim?(n→∞)An]∩[?lim(n→∞)Bn]?[?lim(n→∞)(An∩Bn)]?[?lim(n→∞)An]∩[?lim(n→∞)Bn11

14.[?lim(n→∞)(An\Bn)]?{[?lim(n→∞)An]\[lim？(n→∞)Bn]}12

15.不可列集13

17.?A=?B,?C=?D且A?C,B?D,但?A\C≠?B\D14

16.?A=?B且?C=?D，但?A∪C≠?B∪D,?A∩C≠?B∩D,?A\C≠?B\D14

18.f-1(f(A))≠A15

19.f(A1∩A2)≠f(A1)∩f(A2) f(A1\A2)≠f(A1)\f(A2)15

第二章欧氏空间中的点集17

1.无限个开集的交未必是开集19

2.无限个闭集的并未必是闭集19

3.对于无限指标集I，(∪ａθΙAa)＇≠∪ａθΙAa＇,?∪ａθΙAa≠∪ａθΙ?Aa20

4.(A∩B)＇≠A＇∩B＇,?A∩B≠?A∩?B20

5.(A∪B)0≠A0∪B020

7.b(A∪B)≠b(A)∪b(B)，b(A∩B)≠b(A)∩b(B)21

6.对于无限指标集I，(∩ａθΙAa)0≠∩ａθΙA0a21

8.对于无限指标集 I，b(∪ａθΙAa)不包含于∪ａθΙb(Aa)22

9.F 是闭集但(F0)≠F，G 是开集但(G0)≠G22

10.两个完全集的交未必是完全集22

11.无限个完全集的并未必是完全集23

12.疏朗的完全集23

13.由无理数组成的疏朗完全集23

14.导集具有连续统势的可列集 Ε，使 Ε∩Ε＇=？23

17.各阶导集互异的集24

16.n-1阶导集非空、n 阶导集为空的集24

15.一阶导集非空、二阶导集为空的集24

18.导集为不可列集的孤立点集25

19.不是孤立点集的疏朗集25

20.余集不是疏朗集的稠密集25

21.两个不相交的疏朗集，其中每一集的任一点都是另一集的极限点26

22.具有中介值性质但不稠密的集26

23.一列互不相交的稠密的可列集26

24.一列互不相交的稠密的不可列集27

25.[0，1]中无理数组成的不可列闭集27

27.[0，1]表为不交稠密集 A 与 B 之并，对[0，1]中任何开区间 I，I∩A 与 I∩B 均具有连续统势28

26.每个集稠密但交为空集的递减集列28

28.平面上与任一直线至多相交于两点的稠密集29

29.单位正方形 S 内的稠密子集 A，使得与 S 相交的每条铅直线或水平直线恰与 A 交于一点30

30.平面上无界闭集的投影未必是直线上的闭集31

31.非 Gδ 集的集31

32.非 Fσ 集的集33

33.既非 Gδ 集也非 Fσ 集的集33

34.可列个 Gδ 之并未必是 Gδ 集34

37.关于闭集套定理的条件35

35.可列个 Fσ 集之交未必是 Fσ 集35

36.关于有限覆盖定理的条件35

38.关于分离定理的条件36

39.关于点到闭集的距离36

40.关于两闭集的距离37

第三章欧氏空间上的连续函数38

1.f 不连续但|f|和 f2连续39

5.不连续的开函数40

4.闭集的连续象未必是闭集40

3.开集的连续象未必是开集40

2.f 与 g 都不连续，但 f+g 与 fg 连续40

6.具有达布性质的不连续函数42

7.恰在有理点间断的函数42

8.恰在一个给定的可列集上间断的函数43

9.仅在一点连续的函数44

10.恰在任意给定的有限个点连续的函数44

11.恰在整数点连续的函数44

12.恰在 Cantor 集上连续的函数44

14.恰在正无理点连续的函数45

13.恰在 Cantor 集上间断的函数45

15.恰在给定的 Fσ 集上间断的函数46

16.连续点集与间断点集均在[0，1]上稠密且在[0，1]内任何开区间中具有连续统势的函数48

17.乌利逊引理中闭集的条件不可少49

18.将疏朗集映成区间的连续函数49

19.一一对应的连续函数，但反函数不连续50

20.连续但非一致连续的函数51

21.f 与 g 均一致连续，但 fg 不一致连续51

22.关于连续函数的连续延拓51

23.分别对于各个变量连续的不连续函数52

24.在单位正方形上处处间断而对于其中一个变量连续的函数53

25.区间[0，1]到单位正方形[0，1]×[0，1]上的一个连续映射53

第四章抽象测度55

1.不是环的半环61

2.不是代数的环61

3.不是σ环的环61

4.不是σ代数的σ环61

8.对可列并和可列交运算封闭的类来必是σ环62

7.对交和差运算封闭的类未必是环62

6.对并和交运算封闭的类未必是环62

5.不是σ环的单调类62

9.半环产生的σ环与它产生的单调类未必相等63

10.环上有限可加但非可列可加的集函数63

11.环上有限可加集函数在一定条件下成为测度的定理对半环不成立63

12.不完备测度64

13.关于测度延拓定理的条件65

14.有限测度引出的外测度未必有限67

15.不满足外测度定义中三条件之一的非负集函数67

16.σ有限外测度引出的测度未必σ有限68

17.非正则外测度69

18.不具有下连续性的外测度70

19.不具有上连续性的外测度70

20.两个正则外测度之和未必是正则外测度71

21.当 μ 仅在环 R 上有限可加时，μ*(μ引出的外测度)所引出的测度?未必是它的延拓72

22.当环 R 上测度 μ 非 σ 有限时，μ 在 S(R)上的延拓的完备化与 μ*可测集类上的 μ*未必相等73

23.可测覆盖存在性定理中“σ有限”的条件不可少73

24.广义测度表为两个测度之差时表法不唯一74

26.关于绝对连续等价定理的条件75

25.哈恩分解不唯一75

27.关于拉东-尼古丁定理的条件76

28.非正则的 Borel 测度77

第五章Lebesgue 测度81

1.直线上的不可测集83

2.集 M，使任意可测集 Ε，有 m*(M∩Ε)=0，m*(M∩Ε)=m(Ε)84

3.集 M，使任意可测集 Ε，有 m*(M∩Ε)=m*(M?∩Ε)=m(Ε)85

4.不相交的集 A 和 B，使 m*(A∪B)＜m*(A)+m*(B)85

5.［0，1］中不交非空集列{EN}，使 m*(?En)＜?m*(En)85

6.［0，1］中递减集列{A?}，使 m*(?An)＜lim/n→∞ m*(An)86

7.［0，1］中递减集列{An}，每个 m*(An)=1，但?An=?87

8.平面上与每条直线相交于不可列个点的零测度集88

9.平面上与每条直线恰交于 n 个点的零测度集88

10.平面上与每条直线恰交于可列个点的零测度集90

11.平面上与任一直线至多相交于两点的不可测集90

12.平面上与每条直线恰交于 n 个点的不可测集92

13.平面上与每条直线恰交于可列个点的不可测集93

14.非 Borel 集的 Lebesgue 可测集93

16.差集包含原点的一个邻域的零测度集94

15.在两个坐标轴上的投影均不可测的平面上的可测集94

17.和集为区间的零测度集96

18.凝点集为全直线的零测度集96

19.正测度的疏朗完全集97

20.［0，1］中测度可充分小的开集 G，使得?=［0，1］98

21.［0，1］中可列个互不相交的疏朗集，其并的测度为199

22.无界的零测度集100

23.不可列的零测度集100

24.不可列的稠密的零测度集100

25.［0，1］中测度为1的第一范畴的集101

26.［0，1］中测度为零的第二范畴的集102

27.非 Gδ集的零测度集102

28.非 Fσ集的零测度集102

29.直线上测度有限的集 E，使对任意区间 I，0＜m(I∩E)＜m(I)102

30.［0，1］中可测集列{En}，每个 m(En)≥α＞0但不存在交集具有正测度的子列103

31.有理数集排成的一个序列{rn}，使得全体开区间(rn-1/n,rn+1/n)不能覆盖全直线103

32.(0，1)中的数 α，它不属于每个区间(rn-1/2n+1,rn+1/2n+1)，其中{rn}是(0，1)中全体有理数按 Cantor 法排成的序列105

33.直线上使 E+E 不可测的可测集 E106

34.平面上使 E+E 不可测的可测集 E107

35.直线上使 E+E 可测的不可测集 E108

36.平面上使 E+E 可测的不可测集 E109

第六章可测函数110

1.非 Lebesgue 可测的函数111

2.非 Borel 可测的 Lebesgue 可测函数112

3.处处间断的非 Borel 可测的 Lebesgue 可测函数112

4.f 不可测但|f|与 f2均可测112

5.f 与 g 均不可测但 f+g 与 fg 可测113

6.f 与 g 均不可测，但 f+g 可测然而非 Borel 可测113

7.对任意实数 α，集 E(f=α)恒可测，但 f 不可测113

8.对任意实数 α m{x∈(0，1)∶f(x)≥α}=m{x∈(0，1)∶g(x)≥α},但 f≠g 于(0，1)114

9.把零测度集映成正测度集的连续函数115

10.把正测度集映成零测度集的连续函数115

11.可测集在连续映射下的象未必可测115

12.可测集在连续映射下的原象未必可测116

13.连续函数与可测函数的复合函数未必可测116

14.f 在 R1上几乎处处连续，但不与任何连续函数几乎处处相等117

15.f 在 R1上处处不连续，但与某连续函数几乎处处相等117

16.R1上几乎处处等于0的可测函数把任意区间映成 R1117

19.使{f(x-1/n)}不几乎处处收敛于f(x)的有界可测函数 f119

17.R1上几乎处处等于0的可测函数，其图形在 R2中稠密119

18.几乎处处收敛的 Borel 可测函数列的极限函数未必 Borel 可测119

20.有界可测函数列{fn}，其任何子列在任何区间上都不几乎处处收敛121

21.可测函数列{f?)处处收敛于 f(n)(n=1，2，…)，且{f(n)}处处收敛于 f,但{f?}不存在收敛于 f 的子列122

22.可测函数的不可列族，其上、下确界函数未必可测123

23.Егоров定理中，m(E)＜∞ 的条件不可少124

24.Егоров定理的结论不能加强为 m(E?)=0124

25.Егоров定理对连续指标函数族不成立125

26.在［0，1］上处处收敛但在其任一子区间上非一致收敛的可测函数列125

28.测度收敛但处处不收敛的可测函数列126

27.处处收敛但不测度收敛的可测函数列126

29.{fn}测度收敛于 f,但{?}不测度收敛于 f2128

30.{fn}测度收敛于 f,但{1/fn}不测度收敛于1/f129

31.{fn}测度收敛于 f，g 连续，但{g(fn)}不测度收敛于 g(f)130

32.{fn}测度收敛于 f，g 连续，但{fn(g)}不测度收敛于 f(g)131

33.不存在阶梯函数列处处收敛于它的可测函数131

34.Лузин定理的结论不能加强为 m(E\F)=0132

35.Лузин定理的结论不能将连续函数改为多项式132

36.不存在连续函数列处处收敛于它的可测函数133

第七章Lebesgue 积分134

1.f 可积但 f2不可积136

2.f2可积且 f 可测，但 f 不可积136

3.fp(p＞0)可积但 f?(s＞0，s≠p)不可积137

4.0＜s＜p＜∞，任意 f∈［s，p］f?可积；任意 u?［s，p］，f?不可积138

5.g≤f 且 f 可积，但 g 不可积138

6.L 可积但非 R 可积的函数138

7.L 可积但与任意 R 可积函数都不几乎处处相等的函数139

8.广义 R 可积但非 L 可积的函数139

9.R1上处处有限但在任一区间上都不可积的可测函数140

10.在任一区间上本性无界的可积函数141

11.f 在直线上非负可积，使得对任意区间(α，b)与实数 α，m((a，b)∩(f≥α))＞0142

12.级数？m(E(|f|≥n))收敛，但 f 在 E 上不可积143

13.n·m(E(|f|≥n))→0，但 f 在 E 上不可积144

14.级数?fdx 绝对收敛，但 f 在?En 上不可积144

15.积分具有绝对连续性的不可积函数145

16.积分中值定理中绝对值符号不可少146

17.f 在 E 上可积且处处为正，但 inf{∫вfdx∶B?E 且 m(B)≥α}=0，其中O＜α≤m(E)146

20.一致收敛蕴涵平均收敛时，m(E)＜∞ 的条件不可少147

18.处处收敛的可积函数列，但极限函数不可积147

19.测度收敛的可积函数列，但极限函数不可积147

21.处处收敛于 f 但不积分收敛于 f 的可积函数列148

22.处处收敛但不平均收敛的可积函数列149

23.平均收敛但处处不收敛的可积函数列149

24.测度收敛于 f 但不平均收敛于 f 的可积函数列150

25.测度收敛但不积分收敛的可积函数列150

26.在［0，1］的任何可测子集 E 上积分收敛于0，但在［0，1］上不测度收敛的可积函数列150

27.一致有界可测函数列{gn}，p＞1，对任意使得|f|p 可积的可测函数f，有lim/n→∞∫?fgndx=∫?fgdx，但{gn}不测度收敛于 g151

29.Levi 定理中函数列“非负”条件不可少153

28.f 在 E 上可积，En?E 且 lim/n→∞m(En)=m(E)，但 lim/n→∞∫?fdx≠∫?fdx153

30.Levi 定理中函数列“递增”的条件不能改为“递减”154

31.Fatou 引理中严格不等式可能成立155

32.Fatou 引理中函数列“非负”的条件不可少156

33.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性不可少156

34.Lebesgue 有界收敛定理中 m(E)＜∞ 的条件不可少157

35.{fn}在 E 上测度收敛于0，但lim/?dx≠0157

36.{fn}在 E 上处处收敛且积分收敛于 f,但在 E 的可测子集 A 上不积分收敛于 f158

37.Vitali 定理中 m(E)＜∞ 的条件不可少159

38.积分非等度绝对连续的可积函数列160

39.f 在(0,∞)上连续且可积，但？f(x)≠0161

40.可积函数 f 在任意区间［0，x］上的平均值不小于 f(x)，但 f 不单调递减162

第八章乘积空间163

1.(A×B)∪(C×D)≠(A∪C)×(B∪D) (A×B)\(C×D)≠(A\C)×(B\D)164

2.A×B?C×D，但 A?C 与 B?D 并不同时成立165

3.环的乘积未必是环166

4.R2中的集 E,使得对任意的 x，y∈R1，Ex 与 R1\Ey 均为至多可列集166

5.平面上的 Lebesgue 不可测集167

6.每个截口都是可测集的不可测集168

7.每个截口都是可测函数的不可测函数169

8.乘积测度空间的定义中，σ 有限的条件不可少169

9.两个完备测度空间的乘积空间未必是完备的170

10.关于 Fubini 定理的条件171

11.平面上不包含正测度可测矩形的正测度集173

第九章微分与不定积分175

1.恰在有理点间断的严格递增函数177

3.f 与 g 均为递增函数，但 fg 不单调178

2.恰在一给定的可列集上间断的严格递增函数178

4.在任一区间都不单调的连续函数179

5.在任一子区间上都不单调的绝对连续函数180

6.在一点的四个 Dini 导数全不相等的函数181

7.两函数之和的 Dini 导数未必等于各函数 Dini 导数之和181

8.处处连续但无处可微的函数183

9.仅在一点可微的函数184

10.仅在一点可微的连续函数184

11.导数几乎处处为零的严格递增函数185

12.导数几乎处处为零的严格递增连续函数186

13.递增函数 f，使得 ∫?f＇(x)dx＜f(b)-f(?)188

14.导函数连续且其零点集测度为正的严格递增函数189

15.单调函数几乎处处可微的结论不能再作改进189

16.在有理点导数不存在的连续单调函数190

17.Fubini 逐项求导定理中函数列的单调性不可少192

18.全变差定义中，不能用对分割的模取极限代替对分割取上确界193

19.非单调的有界变差函数193

20.连续的非有界变差函数194

23.导数几乎处处为零但非有界变差的有界函数195

22.非有界变差的有界函数195

21.在任何子区间上都非有界变差的连续函数195

24.f 非有界变差，但|f|与 f2有界变差196

25.f 与 g 均有界变差且 g(x)≠0，但 f/g 非有界变差196

26.f 与 g 均有界变差，但 g(f)非有界变差197

27.f 有界变差，g 连续，但 g(f)与 f(g)均非有界变差198

28.f 有界变差，g 连续，g(f)与 f(g)中有且仅有一个有界变差198

29.f 有界变差，g 满足α＜1阶 Lip 条件，但 g(f)非有界变差200

31.满足任意给定的 α＜1阶 Lip 条件的连续非有界变差函数201

30.不满足任何阶 Lip 条件的连续的有界变差函数201

32.不满足任何阶 Lip 条件的连续非有界变差函数204

33.满足任意给定 α＜1阶但不满足任何 β＞α 阶 Lip 条件的有界变差函数205

34.f 与 g 均有界变差且非负，使?(f+g)＜?(f)+?(g)205

35.一致收敛的有界变差函数列的极限函数未必是有界变差函数206

36.一致收敛的有界变差函数项级数的和函数未必是有界交差函数207

37.依变差收敛和几乎处处收敛互不蕴涵207

38.依变差收敛与导函数列的收敛性208

42.在［0，1］上连续但非绝对连续，而在任意的［ε，1］上绝对连续的函数210

41.一致连续但非绝对连续的函数210

39.有界变差函数 f,使得函数?(f)在某点 x0的导数存在，但 f＇(x0)不存在210

40.连续但非绝对连续的函数210

43.在［0，1］上连续但在其任一子区间上非绝对连续的函数211

44.f(≥0)非绝对连续，但 fp(任意p＞1)绝对连续211

45.f(≥0)绝对连续，但对某些 p,fp 非绝对连续212

46.连续且有界变差的非绝对连续函数214

47.f 非绝对连续，但|f|与 f2绝对连续214

48.关于复合函数的绝对连续性214

49.不满足任何阶 Lip 条件的绝对连续函数217

52.满足任意给定的 α＜1阶但不满足任何 β＞α 阶 Lip 条件的绝对连续函数218

53.一致收敛的绝对连续函数列的极限函数未必绝对连续218

50.满足任意给定的 α＜1阶 Lip 条件的非绝对连续函数218

51.不满足任何阶 Lip 条件的非绝对连续函数218

54.一致收敛的绝对连续函数项级数的和函数未必绝对连续219

55.绝对连续函数几乎处处可微的结论不能再作改进220

56.［?，b］上处处可微但导函数不可积的函数220

57.处处可微但非绝对连续的函数221

58.f 与 f＇均为 R1上可积函数，但仍有 lim?f(x)≠0222

59.f 的不定积分在点 x 具有导数 f(x)，但 x 未必是 f 的 Lebesgue 点223

参考书目225