《现代数学与中学数学》

第一章作为数学语言的集合论1

1 集合论简史1

2 集合论语言2

3 开句和量词4

4 集合的幂集7

5 集合的运算规则9

6 集合论悖论及公理集合论简述9

附录 ZF 集合论公理11

第二章关系和函数14

1 笛卡儿积14

2 日常生活中提炼出来的关系16

3 关系的表示19

4 等价关系23

5 序关系24

6 函数是一个特殊的关系32

1 映射与鸽笼原理37

第三章映射及其应用37

2 映射与排列组合44

3 满射个数的计算公式51

4 作为科学方法的映射观点54

第四章商集与同余57

1 把同余看作商集的数学模型57

2 同余的代数运算62

3 使用商集语言解题及其解题规律66

1 自然数公理与数学归纳法原理76

第五章数学归纳法76

2 有序集与良序公理78

3 归纳公理与良序公理的等价80

4 一些似是而非的问题83

第六章数系91

1 自然数系 N91

2 扩充新数的原则95

3 整数系 Z96

4 有理数系 Q101

5 实数系 R104

6 复数系 C111

7 四元数与八元数112

8 数系向“无限”的扩充118

第七章多项式环与因子分解123

1 整模123

2 理想子环126

3 最高公因子128

4 欧几里得算法131

5 素因子分解133

第八章几何作图三大问题138

1 尺规作图可能性准则139

2 扩域与自同构140

3 倍立方体问题146

4 三等分任意角问题147

5 化圆为方问题150

1 抽象群及例153

第九章群论略说153

2 群的生成元，二面体群157

3 置换群165

4 伽罗瓦群，五次及五次以上方程不可用根式求解173

5 无限旋转群189

第十章集合代数与命题演算202

1 传统逻辑的不足202

2 代数，集合代数204

3 命题，复合命题209

4 量词和谓词简介218

第十一章向量几何以及初等几何的机器证明221

1 向量空间221

2 向量的乘法222

3 平面及空间直线225

4 几何模型的建立226

5 某些欧氏公理及定理的翻译及核验228

6 公垂线定理的证明238

7 关于“角”的代数定义239

8 复平面上整线性变换与求解几何轨迹247

9 初等几何的机器证明大意250

第十二章几何证题中的动态方法及投影方法259

1 什么是几何动态259

2 几何动态与极值探求261

3 几何动态与定值探求264

4 几何动态与轨迹探求266

5 投影与垂足位置的确定267

6 投影与三垂线定理的构造269

7 投影与异面直线距离的确定272

8 投影与面积投影定理的构造273

9 投影与截面的作出275

10 投影与视图的作出277

第十三章几何基础与几何模型279

1 欧几里得的《几何原本》279

2 希尔伯特的《几何基础》，近代公理法的基本思想283

3 双曲几何学和椭圆几何学290

4 射影几何学的公理系和模型297

5 爱尔兰根纲领，变换群与几何学309

6 射影几何学在中学几何里的应用举例311

第十四章拓扑学大意317

1 局部性质和整体性质318

2 距离空间，拓扑空间319

3 同胚323

4 布劳威尔不动点定理326

5 映射的同伦和单连通性328

6 基本群332

7 曲面的同调群334

8 维数的定义341

第十五章长度与面积351

1 长度公理与面积公理351

2 三角形和凸多边形的面积354

3 多边形面积，解析几何方法355

4 曲线多边形的面积，内填外包法358

5 进一步的发展359

第十六章微积分与初等数学研究的若干课题363

1 θ 和 π 的超越性363

2 微积分在中学数学中的应用369

3 函数的某些性态的研究391

4 多值函数与黎曼面，复初等函数404

第十七章经济数学模型简析412

1 数列极限与利息计算412

2 函数与经济关系的数学模型425

3 导数与边际分析427

4 导数与弹性分析431

5 微分学与经济学的优化问题435

第十八章组合数学初步441

1 计数基本原理，排列公式442

2 二项式定理及其推广445

3 容斥原理449

4 线性递归方程454

5 母函数460

6 抽屉原理和拉姆赛定理469

7 其他473

第十九章应用数学例说479

1 线性规划和人事指派479

2 信息量的计算482

3 控制论中的状态空间方法485

4 从田忌赛马说到对策论490

5 密码体制496

6 投票模型500

7 调度理论503

8 非线性规划与极值搜索505

第二十章20世纪数学史略511

1 20世纪数学的特点511

2 20世纪数学中心的转移512

3 20世纪数学发展的梗概515

参考文献523