《高等工程数学纲要及题解 第1册》

纲要3

第一章一阶常微分方程式3

1-1基本概念3

1-2几何意义，等斜线5

1-3可分离变数的方程式6

1-4可化成分离变数形式的方程式13

1-5恰当微分方程式18

1-6积分因子19

1-7线性的一阶微分方程式26

1-8参数变化法30

1-9电路问题31

1-10曲线族，正交轨线34

1-11彼卡德叠代法35

1-12解答之存在性与唯一性36

第二章线性常微分方程式39

2-1线性微分方程式39

2-2常系数的二阶齐次方程式41

2-3通解、基组、始值问题42

2-4特性方程式的实数根、复数根、重根43

2-5微分运算子46

2-6自由振动48

2-7高奇方程式52

2-8解答的存在性和唯一性55

2-9任意阶数的齐次线性方程式56

2-10常系数任意阶的齐次线性微分方程式57

2-11非齐次线性微分方程式59

2-12解非齐次线性方程式——未定系数法60

2-13强迫振动64

2-14电路问题68

2-15复数法求出特解71

2-16非齐次方程式的解法——参数变异法72

2-17短捷法75

第三章相平面及联立微分方程式86

3-1相平面86

3-2讨论某些现象88

3-3范德伯方程式91

3-4联立微分方程式93

第四章微分方程式之幂级数解法，正交函数101

4-1幂级数解法101

4-2幂级数解法的理论基础108

4-3雷建德方程式及雷建德多项式111

4-4弗罗比尼斯方法114

4-5贝索方程式132

4-6第二类贝索函数136

4-7贝索函数可满足的微分方程式140

4-8幂级数之电算解法分析144

4-9贝索函数Jn（x）之基本性质147

4-10史特姆-利奥维问题151

4-11多根问题之正交性质156

第五章拉普拉斯转变法167

5-1拉普拉斯转变式之基本定义167

5-2运算法则174

5-3贝索函数之拉普拉斯转变式200

5-4周期性函数之拉普拉斯转变207

习题及解答213

第一章一阶常微分方程式213

1-1基本概念213

1-2几何意义，等斜线216

1-3可分离变数的方程式230

1-4可化为分离变数形式的方程式249

1-5恰当微分方程式255

1-6积分因子270

1-7线性一阶微分方程式279

1-8参数变化法290

1-9电路问题297

1-10曲线族，正交轨线307

1-11波卡德氏叠代法319

1-12解答之存在性与唯一性326

第二章线性常微分方程式336

2-1二阶齐次线性微分方程式336

2-2常系数二阶齐次方程式341

2-3通解、基组、始值问题344

2-4特微方程式的实根、复根、重根351

2-5微分运算子360

2-6自由振动363

2-7高奇方程式376

2-8解答的存在性与唯一性380

2-9任意阶次的齐次线性方程式386

2-10常系数任意阶次的线性微分方程式390

2-11非齐次线性方程式395

2-12解非齐次线性方程式的一种方法399

2-13强迫振动、共振408

2-14电路问题417

2-15藉复数求特解的方法430

2-16非齐次方程式的一般解法433

第三章相平面及联立微分方程式449

3-1微分方程式系统449

3-2相位平面453

3-3临界点、稳定性456

第四章微分方程式之幂级数解法，正交函数463

4-1幂级数解法463

4-2幂级数解法之理论基础466

4-3雷建德方程式及多项式481

4-4推广的幂级数解法，指标方程式490

4-5 Bessel方程式：第一类Bessel函数519

4-6第二类Bessel函数530

4-7正交函数的集合537

4-8 Sturm-Liouvllle问题542

4-9 Legendre多项式及Bessel函数的正交性质548

第五章拉普拉斯变换运算法574

5-1拉普拉斯变换式、反变换式、线性574

5-2微分与积分式的拉普拉斯转变576

5-3在s轴上的移位，在t轴上的移位，单位阶梯函数586

5-4拉普拉斯转换式的微分及积分600

5-5旋转积分605

5-6部份分式法616

5-7周期性函数，其他应用624