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第一章 平面解析几何1

§1．直角坐标和极坐标1

一、直线上点的坐标·分线段成定比1

中译本前言1

二、平面上的直角坐标3

三、极坐标6

四、曲线的方程8

五、曲线的参数方程13

一、直线的一般方程16

二、直线的斜截式方程16

§2．直线16

三、直线的截距式方程17

四、直线的法式方程17

五、直线之间的夹角·直线的两点式方程19

六、相交直线·点到直线的距离·直线束20

§3．二次曲线32

一、圆32

二、椭圆36

三、双曲线39

四、抛物线44

一、坐标变换46

§4．坐标变换及二次曲线方程的化简46

二、抛物线y=Ax2+Bx+C和双曲线y=？48

三、二次曲线的五项方程51

四、化二次曲线的一般方程为标准方程53

§5．二阶和三阶行列式·二元和三元线性方程组58

一、二阶行列式和二阶线性方程组58

二、三阶行列式和三阶线性方程组62

第二章 向量代数概要70

§1．空间直角坐标70

一、向量的分解和坐标72

§2．向量及其简单运算72

二、向量的模和方向余弦73

三、向量的加减73

四、向量与数量相乘73

五、径向量74

§3．数量积·向量积和混合积76

一、数量积76

二、向量积77

三、混合积78

§1．平面和直线85

一、平面85

第三章 空间解析几何85

二、直线93

§2．二次曲面103

一、球面103

二、二次柱面和锥面105

三、旋转曲面·二次曲面107

四、二次曲面的一般方程110

第四章 行列式和矩阵114

§1．n阶行列式的概念114

§2．线性变换和矩阵122

§3．化二次曲线和二次曲面的一般方程为标准方程134

§4．矩阵的秩·等价矩阵144

§5．n元线性方程组148

§6．线性方程组的高斯解法155

§7．线性方程组的约当-高斯解法160

第五章 线代数基础171

§1．线性空间171

一、基本概念171

二、线性无关向量175

三、线性空间的维数和基底177

四、线性空间的同构179

§2．在转换基底时坐标的变换181

§3．子空间·线性生成系184

一、线性空间的子空间184

二、由齐次线性方程组的解形成的子空间186

§4．线性变换190

一、基本概念190

二、线性变换的矩阵192

三、线性变换的运算194

四、线性变换的特征数和特征向量201

§5．欧几里得空间206

一、正交基底212

§6．正交基和正交变换212

二、正交变换217

§7．二次型218

第六章 分析引论226

§1．绝对误差和相对误差226

§2．一元函数228

§3．函数的图形233

§4．极限236

§5．无穷小量的比较245

§6．连续函数248

一、显函数的微分法252

§1．导数和微分252

第七章 一元函数的微分法252

二、隐函数的微分法268

三、由参数方程表示的函数的微分法269

四、导数在几何及力学中的应用270

五、高阶导数273

六、一阶和高阶微分277

§2．函数的研究280

一、罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理和泰勒公式280

二、罗必塔法则287

三、函数的增减性·函数的极值292

四、凹凸性·拐点300

五、渐近线301

六、根据特殊点作函数的图形305

§3．平面曲线的曲率308

§4．平面曲线相切的阶312

§5．实变量的向量函数及其导数314

§6．空间曲线的相伴三面体·曲率和挠率318

第八章 多元函数的微分法325

§1．函数的定义域·等水平线和等水平面325

一、一阶偏导数327

§2．多元函数的导数和微分327

二、全微分330

三、高阶偏导数和高阶全微分333

四、复合函数的微分法337

五、在已给方向上的导数·函数的梯度339

六、隐函数的微分法343

§3．曲面的切面和法线346

§4．二元函数的极值349

一、函数的极值349

二、条件极值·函数在封闭区域的最大值和最小值351

一、直接积分法355

第九章 不定积分355

§1．直接积分法·换元和分部积分法355

二、不定积分中的换元360

三、分部积分法369

§2．有理分式的积分法374

一、简单分式的积分法374

二、利用有理分式的分解求有理分式的积分382

§3．简单无理函数的积分法393

一、形如∫R〔x，（ax+b）m1/n1，（ax+b）m2/n2，…〕dx的积分393

二、形如？的积分394

三、形如？的积分395

四、形如？的积分396

五、形如？的积分397

六、微分二项式的积分∫xm（a+bxn）pdx，其中m，n，p是有理数400

§4．三角函数的有理式的积分法403

一、形如∫R（sinx，cosx）dx的积分403

二、形如∫sinmxcosnxdx的积分408

三、形如∫tgmxdx和∫ctgmxdx的积分，其中m是正整数411

四、形如∫tgmxsecnxdx和∫ctgmxcosecnxdx的积分412

五、形如∫sec2n+1xdx和∫cosec2n+1xdx的积分413

六、形如∫sinmxcosnxdx，∫cosmxcosnxdx，∫sinmxsinnxdx的积分414

七、三角换元416

§5．不定积分杂题419

第十章 定积分421

§1．定积分的计算421

§2．广义积分428

一、基本概念428

二、比较判别法431

§3．求平面图形的面积435

§4．求平面曲线的弧长437

一、已知立体之横截面的面积求它的体积440

二、旋转体的体积440

§5．求立体的体积440

§6．求旋转曲面的面积443

§7．平面图形的静力矩和转动惯量444

§8．求重心的坐标·古尔丁定理449

§9．求变力的功和液体的压力452

§10．双曲函数459

第十一章 二重积分和三重积分467

§1．直角坐标的二重积分467

§2．二重积分中的换元法475

一、利用极坐标计算二重积分475

二、利用曲线坐标计算二重积分476

§3．平面图形的面积480

§4．立体的体积484

§5．曲面的面积487

§6．二重积分的应用491

§7．三重积分496

§8．三重积分的应用503

§9．依赖于参数的积分·在积分号下的微分法和积分法507

§10．Г-函数和B-函数514

一、Г-函数514

二、B-函数520

一、对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）526

第十二章 曲面积分和曲线积分526

§1．对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分526

二、对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）528

§2．第二类曲线积分与路线无关的条件·根据函数的全微分求原函数533

§3．格林公式537

§4．利用曲线积分求面积540

§5．曲面积分542

§6．斯托克斯公式和奥斯特罗格拉茨基-高斯公式·场论初步548

一、一般概念558

§1．常数项级数558

第十三章 级数558

二、收敛级数的基本定理559

三、正项级数收敛性和发散性的判别法560

四、任意项级数561

§2．函数项级数574

§3．幂级数581

§4．函数的幂级数展开589

§5．利用幂级数求函数的近似值594

§6．利用幂级数求极限和定积分603

一、复数605

§7．复数和复数项级数605

二、复数项级数614

三、复变量指数函数和三角函数619

§8．傅里叶级数621

§9．傅里叶积分634

第十四章 常微分方程642

§1．一阶常微分方程642

一、基本概念642

二、可以分离变量的微分方程643

三、齐次微分方程651

四、可以化为齐次方程的微分方程656

五、全微分型微分方程658

六、一阶线性微分方程·伯努利方程663

七、形如x=？（y′）和y=?（y′）的微分方程672

八、拉格朗日方程和克莱罗方程674

§2．高阶微分方程677

一、基本概念677

二、形如y（n）=f（x）的方程678

三、形如F（x，y（k），y（k+1），…，y（n））=0的方程679

四、形如F（y，y′，y″，…，y（n））=0的方程682

五、关于y，y′，y″，…y（n）的齐次微分方程F（x，y，y′，y″，…，y（n））=0684

一、基本概念686

§3．高阶线性微分方程686

二、齐次线性方程688

三、常系数齐次线性方程692

四、非齐次线性方程696

五、欧拉方程709

§4．利用级数解微分方程711

一、微分方程的级数解法711

二、贝塞耳方程714

一、正规微分方程组719

§5．微分方程组719

二、常系数齐次线性微分方程组的矩阵解法（欧拉方法的变形）724

第十五章 概率论初步736

§1．随机事件及其频率和概率736

§2．概率的加法公理和乘法公理739

一、事件的关系和运算739

二、概率的加法公理739

三、条件概率·乘法公理·独立性740

§3．伯努利公式·事件出现的最可能数745

§4．全概率公式和贝叶斯公式749

§5．随机变量及其分布753

§6．随机变量的数学期望和方差760

§7．众数和中位数764

§8．均匀分布766

§9．二项分布和泊松分布768

§10．正态分布·拉普拉斯函数773

§11．随机变量的矩·偏度和峰态776

§12．大数定律783

一、车贝晓夫大数定律783

二、伯努利大数定律784

§13．棣莫佛-拉普拉斯定理789

一、随机向量及其分布791

§14．随机向量791

二、随机变量的独立性793

三、随机变量的数字特征和联合数字特征793

§15．线性相关和回归806

§16．根据试验数据求随机变量的特征814

一、总体和样本814

二、频数和频率815

三、经验分布函数819

四、求随机变量的样本均值821

五、求随机变量的样本方差和样本标准差823

六、求随机变量的样本矩·样本偏度和样本峰态826

一、均匀分布832

§17．根据试验数据确定随机变量的分布832

二、泊松分布834

三、正态分布837

四、沙利耶分布842

五、皮尔逊拟合准则和罗曼诺夫斯基拟合准则845

六、柯尔莫戈洛夫拟合准则856

第十六章 线性规划861

§1．线性不等式的解域·线性不等式组的解域861

§2．线性规划的基本问题866

一、单形法的概念870

§3．单形法870

二、单形表878

三、退化解的概念884

§4．对偶线性规划888

§5．运输问题890

一、求初始基础解891

二、建立逐步迭代894

第十七章 偏微分方程概论898

§1．偏微分方程898

一、简单偏微分方程的例898

二、一阶线性偏微分方程899

§2．二阶偏微分方程的类型·化偏微分方程为标准型901

§3．弦振动方程907

一、弦振动方程的特征解法（达朗贝尔解法）907

二、弦振动方程的傅里叶解法910

§4．热传导方程916

一、非平衡情形的热传导方程916

二、平衡情形的热传导方程924

§5．圆上的狄利克雷问题926

第十八章 复变函数论931

§1．复变函数931

§2．复变函数的导数936

§3．保角映射的概念940

§4．复变函数的积分945

§5．泰勒级数和罗郎级数952

§6．函数之留数的求法·利用留数计算积分960

第十九章 运算微积初步968

§1．求函数之象函数968

一、基本概念968

二、求函数之象函数969

§2．根据象函数求象原函数971

二、象原函数的导数和积分978

一、函数的卷积978

§3．函数的卷积·象原函数之导数和积分的象函数978

§4．应用运算微积解某些微分方程和积分方程981

§5．一般反演公式985

§6．应用运算微积解数学物理方程988

第二十章 计算方法995

§1．方程的近似解法995

一、弦位法995

二、切线法（牛顿法）996

三、联合法（弦位法和切线法的联合运用）997

五、二分法（试验法）998

四、送代法998

六、牛顿法的推广1006

§2．插值法1011

一、拉格朗日插值多项式1011

二、牛顿插值公式1013

§3．定积分的近似计算1017

§4．重积分的近似计算1024

一、矩形公式1024

二、切线公式1028

三、梯形公式1028

四、辛普森公式1030

§5．用蒙特-卡罗方法计算定积分和重积分1044

一、用蒙特-卡罗方法计算定积分1044

二、用蒙特-卡罗方法计算重积分1048

§6．微分方程的数值解法1064

一、欧拉法1064

二、龙格-库塔法1066

三、亚当斯法1069

§7．皮卡逐次逼近法1072

§8．处理试验数据的方法1076

一、图象法1076

二、均值法1078

三、最小二乘法1080

答案1089

附表1135

Ⅰ．Г-函数值表1135

Ⅱ．拉普拉斯函数值表1136

Ⅲ．函数？值表1137

Ⅳ．X2准则的概率值表1138

Ⅴ．函数P（λ）值表1140

Ⅵ．随机数表1140

书中人名（英、俄、汉文对照）1141