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第八章线积分面积分场论1

8.1线积分1

8.1.1空间曲线的弧长1

8.1.2第一型线积分3

8.1.3第二型线积分6

习题8.111

8.2面积分12

8.2.1第一型面积分12

8.2.2双侧曲面16

8.2.3第二型面积分18

习题8.222

8.3线积分、面积分、体积分间的关系24

8.3.1格林定理24

8.3.2斯托克斯定理28

8.3.3高斯定理31

习题8.334

8.4场论36

8.4.1向量场与数量场36

8.4.2哈密顿算子▽37

8.4.3直角坐标系下的梯度、散度与旋度39

1）梯度39

2）散度40

3）旋度4244

8.4.4无源场与无旋场44

8.4.5.场论在物理上的应用46

1）流体力学的连续性方程46

2）热传导方程47

习题8.4（1）48

8.4.6.正交曲线坐标系下的梯度、散度与旋度49

1）正交曲线坐标系49

2）弧长微元曲面微元体积微元50

3）正交曲线坐标系下的三度表达式52

习题8.4（2）56

第九章级数 广义积分学57

9.1级数函数项级数57

9.1.1正项级数敛散性判别法57

9.1.2任意项级数敛散性判别法60

9.1.3绝对收敛级数的性质63

习题9.1（1）64

9.1.4函数项级数与一致收敛性66

9.1.5一致收敛级数的性质69

习题9.1（2）70

9.2幂级数71

9.2.1幂级数的收敛区间与收敛域71

9.2.2幂级数的一致收敛性73

9.2.3幂级数的和函数75

9.2.4初等函数的幂级数展式77

9.2.5欧拉公式80

习题9.281

9.3傅里叶级数82

9.3.1三角函数系的正交性82

9.3.2傅里叶级数83

9.3.3狄利克雷收敛定理83

9.3.4区间[——l，l]上的傅里叶级数85

9.3.5.傅里叶级数的复数形式86

9.3.6均方差与贝塞尔不等式87

习题9.388

9.4广义积分学89

9.4.1广义积分敛散性判别法89

习题9.4（1）95

9.4.2含参定积分的性质与含参广义积分的一致收敛性96

9.4.3一致收敛含参广义积分的性质99

习题9.4（2）102

9.5欧拉积分103

9.5.1T函数103

9.5.2 B函数104

9.5.3斯特林公式107

习题9.5107

第十章线性代数109

10.1矩阵109

10.1.1可逆矩阵109

10.1.2分块矩阵115

习题10.1（1）119

10.1.3初等变换初等矩阵121

10.1.4矩阵的秩129

习题10.1（2）130

10.2线性空间132

10.2.1线性空间的定义例子132

10.2.2子空间134

习题10.2（1）135

10.2.3线性无关性136

10.2.4基维数坐标142

习题10.2（2）149

10.2.5矩阵的秩（续）151

习题10.2（3）153

10.3线性方程组154

10.3.1高斯消元法154

10.3.2线性方程组解的结构161

习题10.3166

10.4线性变换169

10.4.1线性变换的定义169

10.4.2线性变换的运算172

习题10.4（1）174

10.4.3线性变换的矩阵表示175

习题10.4（2）180

10.4.4特征值特征向量182

10.4.5可以对角化的矩阵186

习题10.4（3）191

10.5欧几里得空间192

10.5.1向量的内积192

10.5.2施密特标准正交化方法196

习题10.5（1）199

10.5.3正交变换对称变换201

10.5.4实对称矩阵的对角化203

习题10.5（2）207

10.5.5酉空间207

习题10.5（3）211

10.6二次型212

10.6.1二次型的矩阵212

10.6.2二次型的标准形213

10.6.3复二次型和实二次型的规范形219

习题10.6（1）222

10.6.4正定二次型223

10.6.5二次曲面方程的化简228

习题10.6（2）231

第十一章微分方程233

11.1一阶微分方程233

11.1.1全微分方程233

习题11.1（1）236

11.1.2一阶隐式方程237

习题11.1（2）242

11.1.3微分方程的应用（一）242

1）几何上的应用242

2）物理上的应用244

习题11.1（3）246

11.1.4解的存在与唯一性247

1）皮卡存在唯一性定理247

2）其它形式的存在与唯一性定理251

3）解的延拓252

习题11.1（4）253

11.2高阶微分方程254

11.2.1解的存在与唯一性254

11.2.2高阶线性方程通解的结构254

1）函数的线性无关性朗斯基行列式255

2）线性齐次方程通解的结构259

3）线性非齐次方程通解的结构常数变易法261

习题11.2（1）265

11.2.3常系数线性齐次方程267

11.2.4常系数线性非齐次方程271

1）算子方法271

2）待定系数法277

11.2.5欧拉方程277

习题11.2（2）279

11.2.6微分方程的应用（二）280

1）自由振动280

2）强迫振动283

习题11.2（3）284

11.3微分方程的近似解284

11.3.1微分方程的幂级数解284

1）一阶方程的幂级数解285

2）二阶线性方程的幂级数解286

11.3.2.微分方程的数值计算方法287

1）欧拉方法287

2）霍恩方法288

3）龙格-库塔方法289

习题11.3290

11.4微分方程组291

11.4.1常系数线性方程组291

1）化为高阶方程291

2）用矩阵对角化解微分方程组293

3）算子方法297

习题11.4（1）299

11.4.2首次积分法300

习题11.4（2）305

11.5差分方程一阶偏微分方程305

11.5.1差分方程305

习题11.5（1）309

11.5.2一阶偏微分方程309

习题11.5（2）313

11.6动力系统介绍314

11.6.1动力系统314

11.6.2解的稳定性315

11.6.3初等奇点与相图316

习题11.6320

习题答案与提示321

附录Ⅲ外微分335

附录Ⅳ 多项式339