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目录1

第一篇　多元微分学1

第一章 多元函数的极限和连续性1

§1 多元函数的基本概念1

1.1 由多个因素确定的量1

1.2　多元函数的概念2

1.3　函数的定义域3

1.4　二元函数的几何表示7

§2 多元函数的极限9

2.1　聚点的概念9

2.2　极限的概念10

2.3　极限的运算法则12

2.4　累次极限15

§3 多元函数的连续性20

3.1　连续函数的定义20

3.2　连续函数的运算法则21

3.3　连续函数的基本性质22

第二章　多元函数的微分法24

§1 偏导数和高阶偏导数24

1.1　偏导数的概念24

1.2　偏导数的计算26

1.3　二元函数偏导数的几何意义28

1.5　高阶偏导数29

1.4　偏导数和连续性29

§2 复合函数的微分法34

2.1　中值定理34

2.2　连锁规则36

§3 隐函数微分法45

3.1　问题的提出45

3.2 由方程式确定的隐函数和微分法46

3.3　方程组的情形49

§4 全微分及其应用56

4.1　整齐形式的中值定理56

4.2　全微分概念的引进57

4.3　函数可微的充分条件59

4.4　全微分在近似计算及误差估计中的应用61

4.5　全微分的形式不变性64

4.6　二阶微分和高阶微分66

第三章　多元微分学的应用71

§1 在几何上的一些应用71

1.1　空间曲线的切线与法平面71

1.2　曲面的切平面和法线74

§2 多元函数的泰勒公式82

2.1　问题的提出82

2.2　泰勒公式82

3.1　简单例子87

§3 多元函数的极值87

3.2　极值的概念88

3.3　取极值的必要条件和充分条件89

§4 条件极值98

4.1　条件极值问题98

4.2　拉格朗日乘数法99

4.3　多个约束的条件极值107

第二篇　多元积分学111

第四章　二重积分111

§1 定义和基本性质111

1.1　和的极限问题111

1.2　二重积分的定义114

1.3　二元连续函数的可积性117

1.4　二重积分的性质118

§2 直角坐标下二重积分的计算121

2.1　二重积分的累次积分表示121

2.2　化二重积分为累次积分的定理125

2.3　计算举例127

§3 二重积分的变量替换134

3.1　极坐标下的二重积分134

3.2　二重积分的变量替换公式139

§1 三重积分的定义146

1.1　和的极限问题146

第五章　三重积分146

1.2　三重积分的定义147

§2 直角坐标下三重积分的计算147

2.1　三重积分的累次积分表示147

2.2　化三重积分为累次积分的定理149

§3 三重积分的变量替换155

3.1　柱面坐标下三重积分的计算公式155

3.2　球面坐标下三重积分的计算公式158

3.3　三重积分的变量替换公式161

§4 重积分的应用165

4.1　曲面面积的计算公式165

4.2　重心170

4.3　转动惯量173

第六章　曲线积分178

§1 第一型曲线积分178

1.1　按段光滑曲线178

1.2　第一型曲线积分的定义与性质179

1.3　第一型曲线积分的计算180

1.4　第一型曲线积分的物理意义184

1.5　第一型曲线积分的几何意义185

§2 第二型曲线积分191

2.1　变力所做的功191

2.2　第二型曲线积分的定义与性质193

2.3　第二型曲线积分的计算195

2.4　两种曲线积分的关系199

第七章　曲面积分203

§1 第一型曲面积分203

1.1　光滑曲面203

1.2　第一型曲面积分的定义204

1.3　第一型曲面积分的计算205

§2 第二型曲面积分212

2.1　有向曲面212

2.2　流体的流量213

2.3　第二型曲面积分的定义214

2.4　第二型曲面积分的计算215

第八章　带参变量积分224

§1 有穷限的带参变量积分225

1.1　固定限的带参变量积分225

1.2　变动限的带参变量积分229

§2 带参变量广义积分的一致收敛性234

2.1　带参变量无穷积分的一致收敛性234

2.2　带参变量无界函数积分的一致收敛性239

§3 带参变量广义积分确定的函数的性质242

3.1　带参变量无穷积分确定的函数的性质242

3.2　带参变量无界函数积分确定的函数的性质247

4.1　Gamma函数Γ（s）252

§4 欧拉积分252

4.2　Beta函数B(p,q)257

4.3　Beta函数与Gamma函数的关系259

第三篇　场的数学描写方法265

第九章　矢量函数和场的概念265

§1 矢量函数265

1.1　矢量函数的极限与连续性265

1.2　矢量函数的微商268

1.3　矢量函数的积分272

§2 场和图解273

2.1　场273

2.2　场的图形表示法275

第十章　数量场的梯度282

§1 方向导数282

1.1　方向导数的定义282

1.2　方向导数的计算公式283

§2 梯度286

2.1　梯度的定义286

2.2　梯度的性质及其另一种定义287

2.3　梯度的几何性质及其几何作法288

2.4　梯度的运算法则292

§1 散度及其计算公式301

1.1　发散量301

第十一章　矢量场的散度301

1.2　散度303

1.3　散度在直角坐标下的计算公式305

1.4　散度的运算法则308

§2 奥高公式311

2.1　奥高公式及其物理意义311

2.2　奥高公式在积分计算中的应用314

§3 奥高公式的其它应用319

3.1　奥高公式与分部积分法319

3.2　格林第一、第二公式320

3.3　质量守恒与连续性方程322

1.1　旋转量（环流）326

第十二章　矢量场的旋度326

§1 涡旋量及其计算326

1.2　涡旋量329

1.3　涡旋量的计算公式331

§2 旋度及其计算公式335

2.1　沿任意方向的涡旋量335

2.2　空间矢量场的旋度335

2.3　旋度在直角坐标下的表达式336

§3　格林公式339

3.1　格林公式339

3.2　二重积分的分部积分公式345

4.1　斯托克斯公式350

§4 斯托克斯公式350

4.2　两个基本方程的建立355

§5 位场和标量势358

5.1　空间矢量场的标量势359

5.2　平面矢量场的标量势368

第十三章　？算符和三度在球、柱曲线坐标下的表达式372

§1 ？算符的引进及其运算法则372

1.1　？算符的引进372

1.2　？算符的运算法374

1.3　？算符的线性运算性质376

1.4　？算符的复合运算法则377

2.1　？算符在柱坐标下的表达式380

§2 梯度、散度、旋度、？2算符在柱坐标下的表达式380

2.2　单位矢量er,e？,ez的“微商”公式381

2.3　散度在柱坐标下的表达式382

2.4　旋度在柱坐标下的表达式383

2.5　？算符在柱坐标下的表达式384

§3 梯度、散度、旋度、？2在球坐标下的表达式385

3.1　？算符在球坐标下的表达式385

3.2　单位矢量er,e？,e？的“微商”公式386

3.3　散度在球坐标下的表达式387

3.4　旋度、？3算符在球坐标下的表达式388

答案与提示393