《初等数学解题方法大全》求取 ⇩

目录1

一、基本逻辑知识1

（一）什么是逻辑学1

（二）逻辑思维的基本形式2

1．概念2

（1）什么是概念2

（2）概念的内涵和外延5

（3）概念间的关系6

①同一关系6

②交叉关系6

③从属关系7

④矛盾关系8

⑤反对关系8

（4）概念的限定和概括9

①概念的限定9

②概念的概括9

（5）概念的定义10

（6）概念的划分10

2．判断13

（1）什么是判断13

（2）判断的分类14

①性质判断15

（3）数学中的判断15

②关系判断18

③假言判断20

④选言判断21

⑤联言判断21

⑥负判断22

3．命题22

（1）什么是命题22

（2）命题的结构22

③联言命题23

⑤否定命题23

④等价命题23

②选言命题23

①假言命题23

（3）简单命题与复合命题23

（4）命题的四种形式及其关系24

（5）命题的演算规则25

（6）命题的条件26

（7）公理、定理、推论27

（8）分断式命题28

（9）逆命题的制造29

（2）演绎推理32

4．推理32

（1）什么是推理32

（3）归纳推理37

（4）类比推理39

5．数学证明39

（1）什么是证明39

（2）证明的规则40

（三）逻辑思维的基本规律42

1．同一律42

2．矛盾律43

4．充足理由律44

3．排中律44

二、怎样解数学题45

（一）解数学题的实质45

（二）解题的要求47

1．解答数学题要正确合理47

2．解题过程要符合逻辑49

3．解题方法力求简单清楚51

4．解题理由要充分53

5．解题的答案要详尽无遗54

6．解题的最后结果形式要简单56

7．注意命题条件与结论的推广57

（1）分析条件，理解题意60

（三）解题步骤60

1．审题60

（2）注意题中的常数67

2．探求解题方法69

（1）区分习题类型69

（2）观察、联想、转化71

①观察71

②联想78

③转化85

4．检查答案是否合理94

3．写出习题的解答过程94

（1）推理要正确95

（2）检查答案是否完备、确切95

（3）检查解答是否合乎要求95

（四）解题后的回忆96

1．解题方法的回忆96

2．错误分析100

三、解数学题的常用方法103

（一）观察法103

（二）定义法104

（三）分析法105

（四）综合法108

（五）反证法110

（六）同一法115

（七）数学归纳法116

（八）第二数学归纳法118

（九）整体法120

（十）配方法122

（十一）换元法125

（十二）待定系数法126

（十三）参数法128

（十四）相消法129

（十五）代入法131

（十六）比较法133

（十七）“1”的代换法135

（十八）试探法138

（十九）赋值法143

（二十）构造法145

（二十一）三角法147

（二十二）直角坐标法149

（二十三）极坐标法152

（二十四）复数法155

1．式题的解法159

（一）算术问题的解法159

四、各种题型的常用解法159

（1）四则计算题的计算方法160

（2）四则混合式题的计算方法161

①基本法161

②简算法165

③约分法170

④拆数法172

（3）繁分数的化简方法175

①相除法175

②倍数法177

③约分法179

④逐次减层法181

（4）速算的方法183

①凑整法183

②凑同法184

③基准数法185

④反数法186

⑤拆数法187

⑥公式法188

（5）验算的方法190

①正算法190

②逆算法190

③弃九法191

2．文字题的解法194

①直译法194

②意译法195

③分析法196

④综合法196

⑤缩句法197

⑥分段法199

⑦代数法200

3．应用题的解法203

①综合法204

②分析法206

③图解法208

④直接法211

⑤列举法213

⑥追踪法217

⑦逆推法218

⑧消元法220

⑨假设法222

⑩对应法226

⑾不变量法229

⑿变换条件法232

⒀增元法236

⒁类比法238

⒂比例法240

⒃归一法242

⒄倍比法244

⒅归总法247

⒆公式法248

⒇代数法262

（1）整式的运算方法271

①基本运算法271

1．代数式问题的解法271

（二）初等代数问题的解法271

②竖式运算法273

③公式法274

④分离系数法276

⑤综合除法278

⑥比较系数法279

⑦数值代入法280

（2）因式分解的方法281

①提取公因式法282

②公式分解法283

③分组分解法285

④十字相乘法287

⑤求根法288

⑥配方法289

⑦余元定理法290

⑧比较系数法292

⑨数值代入法293

（3）分式的运算法295

①基本运算法295

②比较系数法301

③数值代入法303

④乘因式法304

（4）根式的运算法305

①有理化因式法306

②基本运算法309

③公式法311

2．代数方程与方程组的解法313

（1）有理方程的解法313

①同解变形法313

②分解因式法315

③求根公式法316

④换元法318

⑤韦达定理法320

⑥配方法322

⑦余元定理法323

⑧比较系数法324

（2）无理方程的解法325

①乘方法326

②观察法328

③配方法328

④因式分解法329

⑤换元法331

⑥共轭根式法333

（3）方程组的解法334

①代入消元法335

②加减消元法336

③换元法338

④韦达定理法342

⑤分解因式法344

⑥行列式法345

3．代数不等式问题的解法347

（1）整式不等式的解法348

①基本运算求解法348

②配方法349

③分解因式法350

（2）分式不等式的解法352

①运算求解法353

②不等式联立法354

③转化法355

（3）绝对值不等式的解法357

①公式法357

②区间分析法358

（4）无理不等式的解法359

①运算求解法359

②不等式联立法361

（5）不等式组的解法363

4．指数与对数问题的解法364

①基本运算法365

（1）幂的运算方法365

②代数公式法367

（2）对数的运算方法369

①基本运算法370

②定义法371

③换底公式法371

（3）指数方程的解法373

①比较指数法373

②取对数法374

③换元法375

④分解因式法377

①定义法378

（4）对数方程的解法378

②换底公式法379

③比较真数法381

④换元法382

5．数列问题的解法384

（1）求数列通项公式的方法384

①观察分析法384

②公式法385

③转化法390

④归纳法392

（2）求由递推公式给出的数列通项的方法395

①归纳法396

②作差求和法398

③配项法401

④消常数项法404

⑤换元法405

⑥特征方程法406

（3）数列求和的方法409

①公式法409

②转化法411

③通项公式变形法413

④和式倒写相加法417

⑤和式变倍相减法419

⑥复数法421

6．排列组合问题的解法424

（1）排列、组合和式的求值、化简及组合恒等式的424

证明方法424

①基本公式法424

②母函数法435

③数学归纳法438

④构造模型法439

（2）排列组合应用题的解法441

①模型类比法441

②直接分步法450

③直接分类法456

④淘汰法459

⑤放缩法462

⑥集合法467

7．函数问题的解法473

（1）求函数定义域的方法473

（2）求函数值域的方法478

①直接法478

②反函数法479

③图象法481

④判别式法483

⑤平均值不等式法486

⑥配方法488

⑦二次函数法489

⑧换元法491

⑨导数法493

（3）求函数解析式的方法497

①待定系数法497

②“对应”变形法500

③过渡变量法501

④特殊值法502

⑤列解方程（组）法504

⑥数学归纳法506

（4）作函数图象的方法507

①描点法507

②平移法508

③对称法511

④叠加法513

⑤绝对值翻转法514

⑥导数法515

8．复数问题的解法521

（1）复数的运算方法521

①直接运算法521

②“1”的代换法527

③“i”的代换法529

④“ω”的代换法531

⑤向量法533

（2）复数综合题的解法542

①复数相等法542

②共轭复数法547

③复数模的不等式法550

9．代数证明题的证法552

（1）恒等式的证明方法552

①一般方法552

②公式法554

③代值验证法555

④待定系数法557

⑤数学归纳法558

⑥拆项法559

⑦母函数法561

（2）条件等式的证明方法561

①综合法562

②分析法565

③代八法567

④变换法569

⑤（代数）消元法571

⑥换元法572

⑦数学归纳法573

（3）不等式的证明方法575

①比较法575

②综合法580

③分析法586

④拆项法591

⑤放缩法593

⑥数学归纳法603

⑦反证法607

⑧换元法611

⑨辅助式法619

⑩配方法621

⑾判别式法624

⑿导数法630

⒀构造法634

⒁重要不等式法652

（三）平面几何问题的解法674

1．证明题的证法674

（1）普通问题的证明方法675

①综合法675

②分析法677

③反证法679

④同一法681

⑤枚举归纳法684

⑥数学归纳法686

⑦叠置法689

⑧拼合法690

⑨分解法691

⑩扩充法692

⑾对称变换法695

⑿平移变换法699

⒀旋转变换法702

⒁面积法705

⒂射影法708

⒃变更问题法711

⒄计算法715

⒅解析法717

⒆复数法721

⒇三角法725

(21)极坐标法729

(22)四点共圆法731

(23)构图法735

(24)传递法738

(25)全等三角形法740

(26)等腰三角形法743

(27)平行四边形法745

(28)相似三角形法747

(29)三角形中位线法749

（2）定值问题的证明方法753

①特殊位置探求法753

②计算探求法756

（3）极值问题的证明方法758

①三角形法758

②极值定理法760

③代数法762

④三角法763

2．作图题的作法765

①交轨法765

②三角形奠基法768

③平移法771

④对称法773

⑤旋转法775

⑥放缩法776

⑦延长线法779

⑧角弧法781

⑨游移切线法783

⑩辅助圆法785

⑾面积割补法788

⑿比例线段法791

⒀代数法793

⒁变更问题法798

⒂逆序法800

⒃伸缩进退法803

3．计算题的解法806

①公式法806

②等量替换法807

③列解方程法809

④比例线段法811

⑤三角法814

⑥解析法817

⑦面积割补法819

（四）平面三角问题的解法822

1．三角函数的计算方法822

①定义法822

②公式法824

③代入法829

④综合法831

⑤“1”的代换法834

⑥平方公式法835

⑦赋值法837

⑧构造法839

2．三角等式的证明方法842

①定义法842

②分析法845

③综合法846

④相消法848

⑤数学归纳法850

⑥化为两弦法855

⑦“1”的代换法857

⑧降幂法859

⑨比较法861

⑩反三角运算法862

⑾复数法865

⑿边角互换法866

⒀直推法867

⒁代入法870

⒂消元法873

⒃换元法876

⒄构造法879

3．三角不等式的证明方法882

①比较法883

②单位圆法885

③万能代换法887

④极值法889

⑤公式法892

⑥构造方程法894

⑦构造图形法896

⑧反证法898

⑨数学归纳法900

4．三角作图题的作法901

①描点法901

②几何法905

③变换法906

5．三角方程的解法909

①变量代换法910

②因式分解法912

③引用辅助角法914

④万能置换法919

⑤化为两弦法923

⑥消元法925

⑦相除法928

⑧取三角函数法930

①定义法933

1．计算题的解法933

（五）立体几何问题的解法933

②计算法935

③判别式法936

④体积法938

⑤割补法940

⑥三角法942

⑦穷举寻径法945

2．证明题的证法948

①定义法948

②分析法950

③综合法953

④反证法955

⑤体积法956

⑥构造法959

⑦三角法962

⑧参数法964

（六）平面解析几何问题的解法966

1．求曲线方程的方法966

①定义法966

②直译法969

③待定系数法974

④平面几何法977

⑤转移法983

⑥交轨法986

⑦参数法992

⑧极坐标法998

⑨复数法1003

⑩韦达定理法1008

⑾消去法1011

2．作图题的作法1013

①描点法1013

②简便描点法1018

③平方法1021

④分段讨论法1026

⑤移轴法1029

3．计算题的解法1032

①基本公式法1033

②定义法1041

③判别式法1044

④解方程组法1048

⑤配方法1050

⑥三角法1053

⑦韦达定理法1058

⑧平面几何法1062

⑨不等式法1065

⑩复数法1069

4．证明题的证法1073

①基本公式法1073

②定义法1076

③几何法1079

④参数法1082

⑤极坐标法1086

⑥三角法1089

⑦曲线系法1091

⑧集项法1095

⑨列解方程组法1096

⑩韦达定理法1098

（七）集合问题的解法1104

1．集合的表示法1104

①字母表示法1104

②列举法1105

③特性表示法1107

④文氏图表示法1108

⑤函数图象表示法1110

2．集合的运算与集合等式的证明方法1112

①定义法1112

②公式法1115

③文氏图法1119

④函数图象法1120

（八）初等微积分问题的解法1122

1．求极限问题的解法1122

①四则运算法1122

②函数值法1123

③两个重要函数极限公式法1124

④无穷小分离法1128

⑤有理化法1130

⑥约分——通分法1131

⑦无穷小性质法1133

⑧三角公式法1134

⑨换元法1135

⑩等价无穷小法1137

⑾夹挤法1138

⑿实数连续性公理法1140

⒀双侧极限法1142

⒁微分中值公式法1144

⒂定积分法1145

⒃积分中值公式法1147

⒄斯笃兹定理法1148

⒅洛比达法则法1150

⒆泰勒公式法1153

2．求导数问题的解法1154

①定义法1154

②直接求导法1156

③逐层求导法1157

④对数恒等式法1158

⑤两边取对数法1159

⑥隐函数求导法1160

⑦参数方程法1161

⑧莱布尼兹法1162

①直接积分法1163

3．求不定积分问题的解法1163

②第一换元法（“凑微分”法）1165

③第二换元法1167

④分部积分法1170

⑤递推公式法1172

⑥分项分式法1174

⑦配方添项凑微法1176

⑧欧拉代换法1179

⑨万能代换法1181

⑩多次代换法1185

4．求定积分问题的解法1186

①定义法1186

⑾积分表法1186

②基本公式法1188

③换元法1188

④分部积分法1190

⑤函数奇偶性质法1191

5．证明题的证法1192

①定义法1192

②反证法1194

③微分中值定理法1195

④积分中值定理法1196

⑤换元法1198

⑥保号性定理法1199

（九）逻辑代数问题的解法1201

1．二进制数的计算方法1201

2．二进制数与十进制数的互化方法1205

①二除取余法1205

②二乘取整法1207

3．逻辑式的运算方法1209

①真值表法1209

②公式法1212

③对偶法1214

④反演法1216

①真值表法1218

4．逻辑等式的证明方法1218

②部分真值代入法1220

③公式法1223

④对偶法1224

⑤反证法1226

（十）概率统计问题的解法1228

1．复杂事件的分解法1228

①直译法1228

②分步分解法1230

③等价事件法1233

④两次求逆法1234

①古典定义法1235

2．概率的计算方法1235

②公式法1246

③二项概率法1266

④概率分布法1274

⑤切比雪夫不等式法1277

⑥极限定理法1282

3．随机变量的分布问题的解法1286

（1）分布函数、分布列及分布密度的判定方法1287

（2）分布函数、分布列及分布密度中所含待定常数1291

的确定方法1291

①古典概型法1295

（3）求离散型随机变量的概率分布的方法1295

②直接法1298

③辅助事件法1300

（4）分布列或分布密度与分布函数的互求方法1305

①累加法1305

②邻值相减法1308

③求积法1309

④求导法1312

（5）求随机变量函数的分布的方法1313

①等价事件法1313

②分布函数法1315

①定义法1321

4．求随机变量的期望与方差的方法1321

（1）求随机变量的期望的方法1321

②典型分布法1329

③函数期望公式法1330

④运算性质法1334

⑤构造法1335

（2）求随机变量的方差的方法1341

①定义法1341

②简便公式法1343

③典型分布法1347

④运算性质法1349

⑤构造法1351

5．参数估计问题的解法1352

（1）期望与方差的点估计问题的解法1352

①顺序统计量法1352

②矩估计法1354

③极大似然估计法1361

（2）估计量优良性的判断方法1369

（3）期望与方差的区间估计方法1378

①u估计法1378

②t估计法1384

③χ2估计法1387

6．假设检验的方法1390

①u—检验法1390

②t—检验法1392

③χ2—检验法1395

7．回归分析方法1404

①最小二乘法1404

②F—检验法1411

③t—估计法1416

④预报限反求法1423

①数字和法1427

（1）倍数判别问题的解法1427

1．基础问题的解法1427

（十一）初等数论问题的解法1427

②末位数字法1428

③末两位数法1428

④隔位法1429

⑤三位一组求和法1429

⑥三位一组求差法1430

⑦商数余数相加法1430

（2）质数判别问题的解法1431

①试除法1431

②筛法1432

（3）因数分解的方法1433

（4）最大公因数的求法1435

①因数分解法1435

②辗转相除法1435

（5）最小公倍数的求法1437

①因数分解法1437

②最大公因数法1438

2．简单问题的解法1438

①因数分解法1439

②奇数偶数分类法1442

③剩余类分类法1444

④因式分解法1451

⑤二项式定理法1454

⑥数字法1455

⑦数学归纳法1460

⑧反证法1461

⑨抽屉法1462

3．综合问题的解法1464

①因数分解法1464

②逐个检查法1465

③公倍数法1468

④奇数偶数分类法1469

⑤剩余类分类法1472

⑥反证法1473

⑦解不定方程法1474

⑧抽屉法1476

（十二）标准化试题的解法1482

①直接法1482

②筛选法1488

③图象法1493

④特殊值法1499

⑤反推法1502

附：本书主要参考文献1505