《复变函数方法》

第一章预备知识1

1 复变函数基本知识概述1

1.1 解析函数1

1.2 复变函数的级数理论2

1.3 复变函数的积分理论4

1.4 保角映射8

2 多值函数及其积分12

2.1 根式12

2.2 对数函数幂函数反三角函数18

2.3 多值函数的积分22

3 幅角原理26

3.1 对数留数26

3.2 幅角原理指标28

3.3 Rouche定理30

4 整函数与亚纯函数Liouville定理34

4.1 整函数与亚纯函数34

4.2 Liouville定理35

5 解析延拓36

5.1 解析函数的唯一性定理36

5.2 解析延拓的一般概念37

5.3 透弧解析延拓对称原理39

6 多角形保角映射40

6.1 Schwarz-Christoffel公式40

6.2 例42

7 平面场和若干物理量的复变函数表示48

7.1 平面向量场的复表示48

7.2 若干物理问题的复变函数描述53

习题一60

第二章Cauchy型积分65

8 Cauchy主值积分65

8.1 满足H？lder条件的函数65

8.2 Cauchy核奇异积分的主值67

9 Cauchy型积分的极限值71

9.1 Plemelj公式71

9.2 H类函数作为解析函数边值的条件75

10 置换公式与反演公式77

10.1 Poincare-Bertrand置换公式77

10.2 反演公式80

11 实轴上的Cauchy型积分82

11.1 实轴上的H？lder条件82

11.2 实轴上的Cauchy型积分83

11.3 实轴上Cauchy核奇异积分的主值和Hilbert变换86

12 高阶奇异积分与留数定理的推广87

12.1 高阶奇异积分的Hadamard主值87

12.2 留数定理的推广89

13 若干补充92

13.1 Cauchy型积分在积分曲线端点及密度函数的第一类间断点处的特征92

13.2 Cauchy型积分与位势的关系94

习题二96

第三章解析函数的边值问题98

14 Riemann边值问题98

14.1 Riemann边值问题的提法98

14.2 跳跃问题99

14.3 齐次Riemann边值问题和典则函数100

14.4 非齐次Riemann边值问题的求解104

14.5 开弧与间断系数的Riemann边值问题109

14.6 实轴上的Riemann边值问题115

15 Hilbert边值问题120

15.1 Hilbert边值问题的提法120

15.2 单位圆内（外）函数关于单位圆的对称扩张121

15.3 单位圆上Hilbert边值问题的求解121

15.4 单连通域的Schwarz算子124

15.5 利用正则化因子求解Hilbert问题128

15.6 间断系数和开弧的Hilbert边值问题与Keldysh-Sedov公式131

15.7 复势方法举例135

习题三139

第四章奇异积分方程143

16 Cauchy核奇异积分方程143

16.1 Cauchy核奇异积分方程的基本概念143

16.2 奇异积分算子的若干性质144

17 特征方程及其相联方程的求解146

17.1 特征方程的求解146

17.2 特征方程的相联方程的求解149

18 完全奇异积分方程与Noether定理介绍151

18.1 奇异积分方程的正则化151

18.2 正则型奇异积分算子的Noether定理156

18.3 开弧与间断系数的奇异积分方程156

18.4 奇异积分方程应用举例160

习题四165

第五章Wiener-Hopf方法167

19 Z变换167

19.1 Z变换的概念和基本性质167

19.2 Z逆变换176

19.3 生成函数与双侧Z变换178

19.4 Z变换的应用180

19.5 Z变换和Laplace变换的联系187

20 Fourier变换189

20.1 Fourier变换及其基本性质概述189

20.2 Fourier积分与Cauchy型积分的关系191

20.3 Fourier积分的解析性质193

21 卷积型方程195

21.1 卷积型方程195

21.2 利用Wiener-Hopf方法求解卷积型方程196

21.3 求解离散卷积型方程的Wiener-Hopf方法199

22利用Wiener-Hopf方法求解偏微分方程的边值问题举例202

习题五207

23 保角映射的变分原理210

第六章保角映射的变分原理与近似方法210

24 近似区域的保角映射216

24.1 圆月牙形的映射216

24.2 近似于圆的区域的映射220

24.3 近似区域的映射225

25 Bergmann核函数228

25.1 Bergmann核函数228

25.2 Bergmann核函数在保角映射的应用232

26 保角映射的近似方法235

26.1 把区域映射为圆的函数的极小性质235

26.2 单连通域到单位圆的保角映射的近似方法238

26.3 圆到单连通域的保角映射的近似方法240

习题六251

参考文献252