《微积分解疑》求取 ⇩

一、函数的概念1

1．怎样理解函数的定义？1

2．如何确定函数的定义域？2

3．确定一个函数的基本要素是什么？3

4．任何周期函数都有最小周期吗？4

5．任何两个奇函数的乘积仍是奇函数吗？5

6．函数y=f（x）满足什么条件时，它的反函数与它自己相同？5

7．任何两个函数都可以复合成复合函数吗？7

8．初等函数与非初等函数有什么区别？7

9．在初等函数中，代数函数和超越函数有什么区别？8

二、数列的极限及函数的极限9

10．如何理解数列的概念？9

11．怎样理解数列极限的分析定义？9

12．怎样理解函数极限的分析定义？10

13．函数极限与数列极限有什么联系？12

14．怎样理解无穷小量和无穷大量的概念？13

15．设对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使当n＞N时，xn＜ε都成立，那末当n→∞时，xn一定是无穷小量吗？14

16．设对任意给定的正数ε，数列xn中有无限项满足| xn | ＜ε，那末当n→∞时，xn一定是无穷小量吗？15

17．收敛的数列一定是无穷小量吗？发散的数列一定是无穷大量吗？15

18．有界的数列一定是无穷小量吗？无界的数列一定是无穷大量吗？16

19．有界的数列一定收敛吗？无界的数列一定发散吗？18

20．单调的数列一定收敛吗？收敛的数列一定单调吗？18

21．单调有界数列一定收敛的理论根据在哪里？20

22．lim xn=a与lim|xn|=|a|两者能同时成立吗？20

23．无穷个无穷小量的和一定是无穷小量吗？21

24．无穷个无穷小量的积一定是无穷小量吗？22

25． 两个非无穷小量的和或积一定不是无穷小量吗？23

26．两个无穷小量的商仍为无穷小量吗？24

27．两个无穷大量的和仍为无穷大量吗？24

28．两个非无穷大量的积一定不是无穷大量吗？25

29．无穷小量与无穷大量的积仍为无穷小量吗？25

30．两个无穷大量的商仍为无穷大量吗？26

31．使用极限运算法则时应注意哪些事项27

32．两个极限??=1和lim（1+?）x=e有什么重要性？28

33．？（1+？）n的极限值e为什么是无理数2.718281？29

34．如何理解无穷小量的高阶、低阶、同阶的概念？31

35．任何两个无穷小量都可以比较吗？32

36．在求两个无穷小量的比的极限时，为什么可以把它们用各自的等价无穷小量代替？32

37．如何理解无穷小量的主部的概念？34

三、函数的连续性36

38．函数f（x）在点x0连续的定义有哪几种形式？36

39．怎样判断函数在给定点处是连续的还是不连续的？36

40．你能举出在每个无理点处都连续，而在每个有理点处都不连续的函数吗？37

41．如果对任意正数ε，函数f（x）在〔a+ε，b-ε〕上都连续，那末f（x）在（a，b）内一定连续吗？f（x）在〔a，b〕上一定连续吗？38

42．开区间内的连续函数，在这开区间内一定有最大值和最小值吗？39

43．如果f（x）在开区间（a，b）内连续，且f（a）与f（b）异号，那末在（a，b）内一定有方程f（x）=0的根吗？40

44．函数在区间的一致连续性与连续性有什么区别？有什么联系？40

45．开区间内的连续函数在这区间内一定一致连续吗？41

46．如果f（x）在（a，b）内连续，f（a+0）及f（b-0）都存在且有限，那末f（x）在（a，b）内一定一致连续吗？42

47．闭区间上连续函数的一些基本性质的理论根据在哪里？42

48．设f（x）和g（x）在点x0处都不连续，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不连续吗？43

49．设f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处不连续，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不连续吗？43

50．设f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处不连续，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不连续吗？44

51．设f（x）和g（x）在点x0处都不连续，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不连续吗？44

52．不连续函数平方后仍为不连续函数吗？45

53．设g（x）在点x0处不连续，g（x0）=u0，而f（u）在点u0处连续，那末复合函数f〔g（x）〕在点x0处一定不连续吗？45

54．设g（x）在点x0处不连续，g（x0）=u0，f（u）在点u0处不连续，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不连续吗？46

55．设？g（x）=u0，并且极限？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=? f（u）一定成立吗？47

56．如果？g（x）=u0，且在点x0的领域内，g（x≠u0；）而且？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=？f（u）一定成立吗？48

57．设g（x）在点x0处连续，g（xo）=u0，极限？f（u）存在，那末？f〔g（x）〕=f 〔?g（x）〕一定成立吗？49

58．如果？g（x）=u0，f（u）在点u0处连续，那末？f〔g（x）〕=f 〔？g（x）〕一定成立吗？50

59．一切初等函数在其定义域内都连续吗？51

四、导数与微分53

60．函数在连续点一定可导吗？53

61．函数在不连续点处可导吗？55

62．函数的导函数一定连续吗？55

63．导函数的右极限？f（x）等于右导数f +（x0）吗？56

64．如果导函数有不连续点，那末是第几类不连续点呢？58

65．如果函数f（x）在有限区间（a,b）内可导，但无界，那末它的导函数f （x）在（a，b）内可能有界吗？59

66．如果函数f（x）在有限区间（a，b）内可导，可以由？f（x）=∞推知？f（x）=∞吗？可以由？f （x）=∞推知？f （x）=∞吗？60

67．如果函数f（x）在区间（a，+∞）上可导，可以由极限？f（x）存在推知极限？f（x）存在吗？可以由极限？f （x）存在推知极限？f（x）也存在吗？61

68．设f（x）和g（x）在点x0处都不可导，那末f（x）+g（x）在点x0处一定不可导吗？62

69．设f（x）在点x0处可导，g（x）在点x0处不可导，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？63

70．设f（x）和g（x）在点x0处都不可导，那末f（x）·g（x）在点x0处一定不可导吗？63

71．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），而f（u）在点u0处可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？63

72．设g（x）在点x0处可导，u0=g（x0），而f（u）在点u0处不可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？64

73．设g（x）在点x0处不可导，u0=g（x0），f（u）在点u0处也不可导，那末f〔g（x）〕在点x0处一定不可导吗？64

74．如何求复合函数的导数？64

75．如何求多个函数的乘积的导数？65

76．怎样求函数的高阶导数？67

77．为什么说，函数的微分是函数增量的线性主部？69

78．为什么自变量的微分等于自变量的增量？69

五、中值定理71

79．当洛尔定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？71

80．如果a，b是方程f（x）=0的两个根，f（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，那末方程f（x）=0在（a，b）内至少有一个根吗？72

81．当拉格朗日中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？73

82．当拉格朗日中值定理的条件满足时，对区间（a，b）内的任一点ξ，可否在这区间内找到两点x1及x2，使f（x2）-f（x1）=f （ξ）（x2-x1）（x1<ξ74

83．当柯西中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？74

84．有人根据拉格朗日中值定理说，在（a，b）内至少存在一点ξ，使f（b）-f（a）=f （ ξ）（b-a），F（b）-F（a）=F （ ξ）（b-a），于是？=？，即柯西中值定理成立。这个证明正确吗？75

85．任何？型的未定式都可以用洛比达法则求极限吗？76

86．任何？型的未定式都可以用洛比达法则求极限吗？77

87．可以用洛比达法则求极限??吗？77

88．可以用洛比达法则证明极限？？=1吗？78

89．可以直接使用洛比达法则求数列的极限吗？78

六、导数的应用81

90．设f（x）在〔a，b〕上连续，在（a，b）内可导，如果f（x）在（a，b）内的有限个点或无穷多个离散点处为零，在其余各点处均为正，那末f（x）在〔a，b〕上一定单调增加吗？81

91．根据f （x）在点x0处为正，即f （x0）>0，可以断定f（x）在点x0的邻域内单调增加吗？82

92．单调函数的导函数一定单调吗？82

93．函数的极值与最大、最小值有什么区别？有什么联系？83

94．函数的驻点一定是极值点吗？84

95．函数在不可导的点处一定有极值吗？84

96．当函数在驻点处的二阶导数等于零时，如何判断函数在该驻点处的极值情况？84

97．如果函数f（x）在点x0处有极大值，能否肯定地说：f（x）在点x0的某充分小的邻域内，在点x0的左侧单调增加，而在右侧单调减少？85

七、不定积分87

98．怎样理解原函数的概念？87

99．一切初等函数都具有原函数吗？88

100．怎样理解不定积分的概念？89

101．同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达式吗？90

102．初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？92

103．如何使用第一种换元法求不定积分？93

104．如何使用第二种换元法求不定积分？96

105．如何使用分部积分法求不定积分？99

106．如何求有理函数的不定积分？101

107．如何求三角函数的有理式的不定积分？103

108．如何求形如R（x，？）的无理函数的不定积分？106

八、定积分及其应用108

109．怎样理解定积分的定义？108

110．怎样根据定积分的定义求定积分的值？112

111．假定f（x）是区间〔a，b〕上的连续函数，可以用牛顿-莱布尼茨公式来证明？f（x）dx=-?f（x）dx（b>a）吗？115

112．可以根据？f（x）dx=-?f（x）dx来证明？f（x）dx=0吗？116

113．当函数f（x）在区间〔a，b〕上具有原函数时，f（x）在〔a，b〕上一定可积吗？117

114．当函数f（x）在区间〔a，b〕上可积时，f（x）在〔a，b〕上一定具有原函数吗？117

115．当f（x）+g（x）在〔a，b〕上可积时，f（x），g（x）分别在〔a，b〕上一定可积吗？118

116．怎样正确使用牛顿-莱布尼茨公式？118

117．怎样正确使用定积分的换元公式？120

118．如何理解和怎样使用定积分的元素法？122

九、级数126

119．怎样理解无穷级数及它的和的概念？126

120．级数的敛散性与数列的敛散性有什么联系？127

121．一般项趋于零的级数一定收敛吗？129

122．正项级数的比值判别法可能失效吗？129

123．正项级数的根值判别法可能失效吗？132

124．在正项级数的积分判别法中，函数f（x）的单调性这个条件可以省略吗？134

125．正项级数的敛散性判别法可以直接应用于任意项级数吗？135

126．在交错级数的莱布尼茨判别法中，数列un的单调性这个条件可以省略吗？136

127．级数的绝对收敛和收敛有什么区别和联系？137

128．级数的绝对收敛性在级数理论中起什么作用？138

129．一致收敛的函数项级数一定收敛吗？一定绝对收敛吗？140

130．函数项级数的一致收敛性在级数理论中起什么作用？142

131．幂级数的收敛域有什么特点？144

132．如果两个幂级数的收敛半径相等，那末它们的收敛区间一定相同吗？146

133．当幂级数逐项微分或逐项积分后，所得的幂级数的收敛区间会发生变化吗？146

134．在点x=0的邻域内具有各阶导数的任何函数都可以展开为x的幂级数吗？147

135．展开式（1+x）1n（1+x）=x+??在什么区间上成立？150

十、傅立叶级数152

136．傅立叶级数所讨论的基本问题是什么？152

137．傅立叶级数和三角级数有什么区别？153

138．满足什么条件的函数可以展开为傅立叶级数？155

139．非周期函数可以展开成傅立叶级数吗？156

140．非奇函数可以展开成正弦级数吗？158

141．什么叫做频谱分析？它与傅立叶级数的复数形式有什么关系？159

十一、多元函数的微分法及其应用162

142．怎样理解二元函数的概念？162

143．怎样理解二元函数的极限的概念？163

144．二元函数极限的分析定义对P0是函数定义区域D的边界点的情形是否适用？165

145．如果在求二元函数？当x→0，y→0的极限时，令x=rcosθ，y=rsinθ，于是，？？=？？=0，对吗？167

146．如果一元函数f（x，y0）和f（x0，y）分别在x0和y0连续，那末二元函数f（x，y）在（x0，y0）一定连续吗？168

147．偏导数的记号（例如？）可以看成商或分数吗？169

148．任何二元连续函数都存在偏导数吗？170

149．如果函数z=f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）处都存在，那末f（x，y）在点P0处一定连续吗？171

150．如果函数z= f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）都存在，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？172

151．如果函数z= f（x，y）的偏导数？和？在点P0 （x0，y0）的某邻域内有界，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？174

152．如果函数z- f（x，y）在点P0 f（x0，y0）的全微分存在，那末它的偏导数？和？在点P0一定连续吗？175

153．如果在点P0 （x0，y0），函数f（x，y）沿任一方向α的方向导数都存在，那末f（x，y）在点P0的全微分一定存在吗？176

154．多元复合函数的求导公式有什么规律？178

155．多元函数全微分的运算法则是怎样的？179

156．设u=ψ（x，y）在点（x，y）可微，z=f（u）在相应的点u也可微，那末dz=f（u）du成立吗？180

157．设z=f（u，v）的偏导数？和？都存在，u=ψ（t），v=ψ（t）的导数？和？也都存在，那末全导数公式？=？·？+？·？一定成立吗？181

158．隐函数存在定理在隐函数的研究中起什么作用？183

159．对于任何二元函数，f xy=f yx都成立吗？186

160．拉普拉斯方程？+？=0在极坐标系中的形式是怎样的？187

161．二元函数的极值点一定是驻点吗？188

162．二元函数的驻点一定是极值点吗？189

163．如果二元连续函数在某区域内只有一个极值，并且是极大（小）值，那末这个极大（小）值一定是函数在该区域上的最大（小）值吗？190

164．在区域内连续的二元函数在该区域内是否有可能具有多个极大值，而无极小值？191

165．如果不能肯定二元函数在某区域上的最大（小）值在区域内部取得，如何求函数在该区域上的最大（小）值？192

166．怎样求解条件极值问题？194

十二、重积分201

167．怎样理解二重积分的定义？201

168．怎样把二重积分化成二次积分计算？202

169．怎样交换二次积分的次序？207

170．任何二重积分都可以在直角坐标系中化成二次积分进行计算吗？209

171．怎样利用极坐标计算二重积分？210

172．在哪些情况下适宜于用极坐标计算二重积分？212

173．怎样理解二重积分的换元公式？215

174．当二重积分的积分区域D包含原点时，换元公式((？f（x，y）dxdy=(?f（rco?θ，rsinθ）rdrdθ是否成立？219

175．三重积分的定义是怎样的？221

176．怎样把三重积分化成三次积分计算？222

177．三重积分也有换元公式吗？224

178．在哪些情况下适宜于用柱面坐标、球面坐标来计算三重积分？226

179．你能由定积分、二重积分及三重积分引出n重积分的概念吗？227

十三、曲线积分及曲面积分230

180．对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分有什么区别和联系？230

181．怎样把对弧长的曲线积分化成定积分计算？232

182．怎样把对坐标的曲线积分化成定积分计算？237

183．格林公式有什么用处？239

184．在平面区域D上满足条件？=？的曲线积分？Pdx+Qdy一定与路线无关吗？244

185．当P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某个二元函数u（x，y）的全微分时，怎样求u（x，y）？246

186．对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分有什么区别和联系？249

187．怎样把对面积的曲面积分化成二重积分计算？251

188．怎样把对坐标的曲面积分化成二重积分计算？254

189．奥-高公式有什么用处？258

190．怎样解释奥-高公式的物理意义？260

191．格林公式和奥-高公式有什么共同点？262

十四、微分方程264

192．怎样理解微分方程的通解和特解的概念？264

193．什么叫做变量可分离的微分方程？怎样求它的解？267

194．求解线性微分方程的常数变易法是怎样的？270

195．怎样求解常系数线性微分方程？274

196．什么叫做全微分方程？如何求它的解？276

197．什么叫积分因子？怎样找积分因子？278

198．变量代换在求解微分方程中起什么作用？283

199．怎样求解一般的线性微分方程？285

200．用消元法求解常系数线性微分方程组时要注意些什么？289