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第八章无穷级数1

8-1常数项级数的概念和主要性质1

一、无数级数的一般概念1

二、无穷级数的收敛概念2

三、无穷级数的基本性质5

习题8—19

8-2正项级数的审敛法10

一、正项级数的比较审敛法10

二、正项级数的比值审敛法12

三、正项级数的根值审敛法15

四、正项级数的积分审敛法17

习题8—219

8-3任意项级数20

一、交错级数及其审敛法20

二、绝对收敛与条件收敛22

习题8—324

8-4函数项级数24

一、函数项级数的基本概念24

二、一致收敛性概念27

三、函数项级数一致收敛性的判别法29

四、一致收敛级数的性质30

习题8—433

8-5幂级数33

一、幂级数的概念及其收敛性33

二、幂级数的运算37

习题8—540

8-6函数的幂级数展开式41

一、函数f（x）在x=0处的泰勒级数41

二、函数f（x）地x=0处的泰勒展开式43

三、几个初等函数的泰勒展开式44

习题8—648

8-7幂级数的应用49

一、近似计算49

二、计算定积分的近似值52

三、欧拉公式53

习题8—754

8-8傅立叶级数54

一、三角函数系的正交性54

二、函数的傅立叶级数55

三、函数的傅立叶展开式60

习题8—863

8-9正弦级数和余弦级数64

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数64

二、函数展开成正弦级数和余弦级数67

习题8—970

8-10周期为2l的周期函数的傅立叶级数及其复数形式70

一、周期为2l的周期函数的傅立叶级数70

二、傅立叶级数的复数形式74

习题8—1079

小结80

第九章空间解析几何与矢量代数83

9-1空间直角坐标系83

一、空间点的直角坐标83

二、空间两点间的距离85

习题9—185

9-2矢量及其加减法 矢量与数量的乘积86

一、矢量的概念及其表示86

二、矢量的加减法87

三、数与矢量的乘法89

习题9—290

9-3矢量的坐标表示法90

一、矢量在轴上的投影与投影定理90

二、矢量的坐标表示法93

三、矢量的模与方向余弦的坐标表示式95

习题9—398

9-4矢量的数量积99

一、矢量数量积的概念99

二、矢量的数量积的运算规律100

三、矢量数量积的坐标表示式101

习题9—4102

9-5矢量的矢量积103

一、矢量积的概念103

二、矢量积的运算规律104

三、矢量积的坐标表示式105

习题9—5107

9-6矢量的混合积108

一、混合积的坐标表示式108

二、混合积的几何意义109

习题9—6110

9-7平面及其方程110

一、平面的点法式方程110

二、平面的一般方程式112

三、平面的截距式方程114

四、点到平面的距离115

习题9—7116

9-8空间直线及其方程117

一、空间直线的一般方程117

二、直线的参数方程与标准方程118

三、直线与直线、直线与平面的一些问题122

习题9—8124

9-9空间曲面与曲线及其方程125

一、曲面方程的概念125

二、球面126

三、柱面127

四、旋转曲面128

五、空间曲线131

六、几种常见的二次曲面134

习题9—9138

小结139

第十章多元函数的微分法及其应用145

10-1多元函数的基本概念145

一、多元函数的概念145

二、二元函数的极限和连续性150

习题10—1154

10-2偏导数154

一、偏导数的定义及其求法154

二、偏导数的几何意义157

三、高阶偏导数158

习题10—2160

10-3全微分及其应用161

一、全微分的定义161

二、二元函数可微与偏导存在的关系162

三、全微分在近丘似计算及误差估计中的应用165

习题10—3168

10-4多元复合函数的求导法则及隐函数的求导公式168

一、多元复合函数的求导法则168

二、全微分形式的不变性173

三、隐函数的求导公式174

习题10—4177

10-5偏导数的几何应用178

一、空间曲线的切线与法平面178

二、曲面的切平面及法线180

习题10—5183

10-6多元函数的极值及其求法184

一、多元函数的极值184

二、多元函数的最值187

三、条件极值——拉格朗日乘数法189

习题10—6193

小结193

第十一章重积分197

11-1二重积分的概念和性质197

一、引出二重积分概念的实例197

二、二重积分的概念200

三、二重积分的性质202

11-2二重积分在直角坐标系中的计算方法203

一、面积元素203

二、计算方法204

习题11—2214

11-3二重积分在极坐标系中的计算方法215

一、面积元素215

二、计算方法217

习题11—3221

11-4二重积分的应用222

一、几何上的应用222

二、物理上的应用226

习题11—4231

11-5三重积分的概念232

一、非均匀物体的质量232

二、三重积分的定义233

11-6三重积分在直角坐标系中的计算方法234

一、体积元素234

二、计算方法234

三、三重积分的应用236

习题11—6239

11-7柱面坐标系及球面坐标系中三重积分的计算方法240

一、柱面坐标系中的计算方法240

二、球面坐标系中的计算方法243

习题11—7248

小结250

第十二章曲线积分与曲面积分251

12-1对弧长的曲线积分251

一、对弧长的曲线积分的概念251

二、对弧长的曲线积分的性质253

三、对弧长的曲线积分的计算法254

习题12—1258

12-2对坐标的曲线积分259

一、对坐标的曲线积分的概念259

二、对坐标的曲线积分的性质262

三、对坐标的曲线积分的计算法265

四、两类曲线积分之间的联系270

五、对坐标曲线积分的矢量形式271

习题12—2273

12-3平面曲线积分与二重积分的联系——格林公式274

习题12—3282

12-4平面上曲线积分与路径无关的条件282

习题12—4289

12-5曲线积分的应用289

一、曲线积分在几何上的应用289

二、曲线积分在物理上的应用291

习题12—5295

12-6对面积的曲面积分296

一、对面积的曲面积分概念296

二、对面积的曲面积分计算法298

习题12—6304

12-7对坐标的曲面积分305

一、对坐标的曲面积分概念305

二、对坐标的曲面积分的性质311

三、对坐标的曲面积分的计算法312

四、两类曲面积分之间的联系318

习题12—7319

12-8高斯定理320

一、曲面积分与三重积分之间的联系——高斯公式320

二、曲面积分与曲面无关的条件326

三、高斯公式的矢量形式327

习题12—8327

12-9斯托克新定理328

一、空间曲面边界闭曲线的方向329

二、空间曲线积分与曲面积分的联系——斯托克斯定理329

三、空间曲线积分与路径无关的条件336

习题12一9337

小结337

第十三章场论340

13-1场的基本概念340

一、数量场与矢量场340

二、数量场的等值面341

三、矢量场的矢线343

习题13—1345

13-2数量场的方向导数与梯度346

一、方向导数346

二、梯度347

三、梯度和方向导数的直角坐标表示式349

四、梯度的运算法则351

习题13—2353

13-3矢量场的流量与散度353

一、流量与散度353

二、散度在直角坐标系中的表示式357

三、高斯定理的矢量形式358

四、散度的运算法则358

习题13—3361

13-4矢量场的环流与旋度362

一、矢量场的环流362

二、矢量场的旋度365

三、旋度的运算法则369

习题13—4370

13-5管量场、势量场和调和场370

一、管量场370

二、势量场372

三、调和场374

13-6矢量微分算符375

一、利用算符表示梯度、散度和旋度375

二、二阶微分运算377

三、微分算符对两个函数乘积的作用378

13-7曲线坐标379

一、球面坐标系379

二、柱面坐标系380

三、应用举例381

小结384

第十四章行列式与矩阵385

14-1n阶行列式及其性质385

一、全排列385

二、n阶行列式的定义387

三、行列式的性质390

四、行列式按行（列）展开393

五、克菜姆法则399

习题14—1402

14-2矩阵及其运算403

一、线性变换与矩阵403

二、矩阵的运算406

三、逆矩阵413

习题14—2419

14-3矢量组的线性相关性与矩阵的秩421

一、引例421

二、n维矢量423

三、矢量的线性相关与线性无关424

四、矩阵的秩427

五、矩阵的初等变换433

习题14—3436

14-4线性方程组436

一、线性方程组解的存在定理438

二、作齐次线性方程组438

三、齐次线性方程组441

习题14—4444

14-5利用矩阵的初等行变换解线性方程组444

习题14—5448

14-6方阵的特征值与特征矢量448

一、方阵的特征值与特征矢量448

二、相似矩阵452

习题14—6458

小结459